1.2.1 中心投影与平行投影优秀教案案例

适用学科

适用区域

知识点

教学目标

高中数学

人教版区域

适用年级

课时时长（分钟）

高二

2课时

三视图、画三视图的原则、直观图、斜二测画法的步骤

掌握画三视图的基本技能和方法；

提高学生空间想象力，体会三视图的作用．

教学重点

教学难点

画出简单组合体的三视图．

识别三视图所表示的空间几何体．

【教学建议】

本节重点是认识空间几何体的结构特征．画出空间几何体的三视图、直观图、培养空间想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力。由空间图形数出其结构特征，由结构特征想象出空间几何体，进行空间图形与其三视图的相互转化，是达到本节课程目标的重要方法。

本节中的有关概念，主要采用分析具体实例的共同特点，再抽象其本质属性空间而得到。教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念．

学生在初中学过平面几何，掌握了大量的平面几何知识，进行过一定量的逻辑推理训练，为学习立体几何打下了基础。但学习立体几何不仅需要较强的逻辑思维能力，还需要丰富的空间想象能力。学生常感到立体几何难学，究其原因主要有几点：

（1）消极心理的影响

“代数繁，几何难”，在学生中广为流传，使不少学生还未学习立体几何就已经产生了畏惧心理，他们对学好立体几何信心不足，对怎样学习心中无底，这种消极心理必然会给学生造成消极影响. （2）思维定势的影响

受初中所学平面几何时形成的思维定式的束缚，常将平面几何中的概念、定理照搬

照用. （3）缺乏空间想象力

缺乏空间想象力，常将空间问题看成平面问题，作图、识图难。作图中不知何时该用实线，何时该用虚线，作出的图形缺乏立体感。识图中相交、异面分不清，大角、小角分不清，

是否平行、垂直分不清。

【知识导图】

教学过程

一、导入

【教学建议】

导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。

导入的方法很多，仅举两种方法：

①

情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；

②

温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。

同学们,我们知道光由一点向外散射形成的投影称为中心投影，而在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影。初中的时候我们学习了简单立体图形的三视图，包括：正视图，左视图和俯视图。这节课我们将共同学习更多的立体图形和他们在不同投影中的三视图。

设计意图：通过展示同学们熟知的物理现象以及初中学过的三视图，实现引导学生由空间图形到三视图的转换，实现“空间”到“平面”的转换，从而突破难点，突出重点。

二、知识讲解

考点1

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

【教学建议】建议先展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受空间几何体的整体结构，然后再引导学生抽象出空间几何体的结构特征。

1. 棱柱的结构特征：

（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

（2）棱柱的有关概念：棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

（4）棱柱的表示：用底面各顶点的字母表示，如上图的六棱柱可表示为: 棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F' 2. 棱锥的结构特征：

(1) 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）棱锥的有关概念：棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

（3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

（4）棱锥的表示：用顶点和底面各顶点的字母表示，如右图的四棱锥可表示为：棱锥SABCD

3. 棱台的结构特征

（1）

棱台的概念：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．

（2）棱台的有关概念：（出示模型，边对照模型边介绍）棱台的上底面、下底面、侧面、侧棱、顶点；

（3）棱台的分类:三棱台、四棱台、五棱台、六棱台；

（4）棱台的表示方法：棱台ABCD－A'B'C'D' （5）棱台的特点：两个底面是相似多边形，侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点．

【教学建议】这教学中可以引导学生多观察，并结合自己的经验，讨论各实物、模型、图片的结构特征，提出适当的分类标准，在比较的过程中形成对柱、锥、台、球结构特征的直观认识。

考点2

圆柱、圆锥、圆台的结构特征

1.圆柱的结构特征：

(1) 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱

（2）

圆柱的有关概念：在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

(3) 圆柱的表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示为圆柱OO'. 2.圆锥的结构特征：

(1) 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥. (2) 圆锥的有关概念：在圆锥中，旋转的轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

(3) 圆锥的表示方法：圆锥用表示它的轴的字母表示为圆锥SO. 3.圆台的结构特征：

(1)

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.

(2) 圆台的有关概念：结合图形认识圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。

(3) 圆台的表示方法：圆台用表示它的轴的字母表示为圆台OO'.

4.球的结构特征：

（1）

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，叫球体，简称球. （2）

在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（3）

球的表示： 球常用表示球心的字母表示为球O。

5.简单组合体的结构特征：

（1）

定义：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体. （2）

简单组合体的构成形式：

一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。

考点3

柱、锥、台、球的三视图

（1）三视图的定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．

（2）三视图的几何作用：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.

考点4

直观图的斜二测画法

直观图：直观图最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：

（1）

建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系xoy，直观图中画成斜坐标系xoy，两轴夹角为45(或135°). （2）平行不变：已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'或y轴的线段. （3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

''''

三

、例题精析

类型一

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

例题1

判断如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（

）

A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F

【解析】D 第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F．故选D．

【总结与反思】三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成。因为，在做立体图的题目时，对立体图形基本结构的认识和记忆是十分重要的。

类型二

圆柱、圆锥、圆台的结构特征

下列几何体中是台体的是(

)．

例题2

【解析】D A中的几何体侧棱延长线没有交于一点；B中的几何体没有两个平行的面；很明显C中几何体是棱锥．

【总结与反思】

在做立体图的题目时，对立体图形基本结构的认识和记忆是十分重要的。对于台体而言，不论是棱台还是圆台他们的共同点都是：台体的上下底面是平行的关系。

类型三

柱、锥、台、球的三视图

例题3

如图,是常见的六角螺帽，试画出它的三视图

【解析】

【总结与反思】

画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线

都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.从三个方向（正面，左面，上面）观察，得到三个平面图形，绘制出对应的三视图。

类型四

直观图的斜二测画法

画棱长为4cm的正方体的直观图

【解析】按照斜二测画法的步骤画正方体的直观图，先画下底面，再画棱，再画上底面. 画法：如图，按如下步骤完成. 第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD，使BAD45,AB4cm,AD2cm. 第二步，过A作z轴，使BAz'90. 分别过点B,C,D作z轴的平行线，在z轴及这组平行线上分别截取AA'BB'CC'DD'4cm. 第三步，连接AB,BC,CD,DA，所得图形就是正方体的直观图.

''''''''''例题4

【总结与反思】

熟练的掌握直观图的斜二测画法，对其步骤的顺序能够达到正确的运用。

例题5

A点沿长方体表面到达长方体ABCDA1BC11D1的棱长AA14,AB3,AD5，则从C1点的最短距离为(

)．

A．45 B．310 C. 74 D．8

【解析】C

将长方体沿AA1剪开成平面图形，

AC1(53)24245；

沿AB展开，AC1(54)232310；

(43)25274. 沿AD展开，则有AC1综上所述，从点A沿表面到C1的最短距离为74.

例题6

和a且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,范围是（ ）

（A）0,2 （B）0,3

（C）1,2（D）1,3



【解析】A

设AB边长为a，PC边长为，E,F分别为PC,AB的中点，可知AE=BE, 因为BE1(222，BFBE

)22所以AB2BF2

四

、课堂运用

基础

1.

纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是(

) A．南

C．西

B．北

D．下

2.一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是(

)

3.

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)

4.

正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(

) A．6 cm

C．(2＋32)cm

答案与解析

1.【答案】B

【解析】将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”、“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面．

2. 【答案】A 【解析】由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面．正视图中，长方体上底面和右边

侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B错；侧视图中的线应是虚

线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错．

3. 【答案】D 【解析】由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D．

4. 【答案】B 【解析】

B．8 cm D．(2＋23)cm

如图，OA＝1 cm，

在Rt△OAB中，OB＝22 cm，

所以AB＝

OA2＋OB2＝3 cm．

所以四边形OABC的周长为8 cm．

巩固

1.

关于如图所示几何体的正确说法为(

)

①这是一个六面体．

②这是一个四棱台．

③这是一个四棱柱．

④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．

⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．

A．①②③

C．①②④⑤

B．①③④

D．①③④⑤

2. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面(

) A．至多有一个是直角三角形

B．至多有两个是直角三角形

C．可能都是直角三角形

D．必然都是非直角三角形

3.

如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(

)

A．①②

C．①④

B．①③

D．①⑤

4.

已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(

) A．2 cm

C．2．5 cm

5.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为B．3 cm D．5 cm

1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(

) 12A．＋

22C．1＋2

B．1＋2

2D．2＋2

答案与解析

1.【答案】D

【解析】①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．

②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．

③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．

④⑤都正确．如图所示．

2.【答案】C 【解析】注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥AAC11D1的三个侧面都是直角三角形．

3.

【答案】D

【解析】一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．

4.【答案】D 【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D．

5.【答案】D 【解析】因为A′D′∥B′C′，所以AD∥BC．

因为∠A′B′C′＝45°，

所以∠ABC＝90°．

所以AB⊥BC．所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示．

其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2，

即S梯形ABCD＝2＋2．

1.

定义：底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱．将正三棱柱截去一个角(如图1所示，M，N分别是AB，BC的中点)得到几何体(如图2)，则该几何体按图2所示方向的侧视图为(

)

拔高

2.

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，求该多面体最长的棱长．

3. 如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中D是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段B′D的长相等的线段有(

)

A．0条

B．1条

C．2条

D．3条

4.

已知某几何体的正视图和侧视图是如图中所示的等腰梯形，俯视图如图中所示外部是正方形，内部是与外部正方形同心的正方形．根据图中尺寸，说明原几何体的特征，并说明该几何体的主要元素的尺寸．

答案与解析

1.【答案】D 【解析】由题图2侧视的方向可知，M点的投影是棱AC的中点，N点的投影为C，E点的投影为F，故应选D．

2.【答案】52

【解析】由三视图可知此几何体的直观图如图所示，其中AB⊥AC，DC⊥AC，DC⊥BC，则BC＝32＋42＝5，DA＝32＋52＝34，DB＝52＋52＝52，

因为5＜34＜52，

所以最长的棱长为52．

3.【答案】

C

【解析】 先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段B′D长度相等的线段．把三角形A′B′C′还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD．故选C．

4.【答案】几何体是正四棱台，各要素长度见解析

【解析】所求几何体是一个正四棱台，其上底边长为2 cm，下底边长为4 cm，由三视图可

知正四棱台的斜高为3 cm，所以正四棱台的侧棱长为

该正四棱台主要元素的尺寸示意图如图所示．

4－2＋32＝10(cm)．

22

五

、课堂小结

本节讲了4个重要内容：

1.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”. 2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来．

3. 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”．

4. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象．

六

、课后作业

基础

1.

下列说法正确的是(

) ①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；

③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等．

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

2.

下列说法错误的是(

) A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成

B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成

C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成

D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成

3.

若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是(

)

4.

已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后得到的△A′B′C′与△ABC(

) A．全等

C．不相似

答案与解析

1.【答案】B 【解析】由棱锥的定义可知，棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．

2.【答案】C 【解析】用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的．若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项A的说法正确．

3.【答案】D 【解析】满足选项A的有三棱锥，满足选项B的有球，满足选项C的有正方体，故选D. 4.【答案】B 【解析】本题主要考查对中心投影的理解，根据题意画出图形如图所示．

B．相似

D．以上都不对

由图易得OAABOBBCOCAC＝＝＝＝＝，则

OA′A′B′OB′B′C′OC′A′C′△ABC∽△A′B′C′.

巩固

1. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(

) A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

2.

如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．

3.

甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“6”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是(

)

A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边

B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙

C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁

D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边

4.

如图所示，四面体A-BCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体A-BCD的正视图、侧视图、俯视图依次是________．

答案与解析

1.【答案】D 【解析】

如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形．故正确答案为D.

2.【答案】10

【解析】将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，

AD1＝

AD2＋DD21＝10.

3.【答案】D 【解析】通过空间想象来判断，甲看到的为“6”，丁看到的为“9”，显然甲、丁相对，而乙看到的为“6”，则乙在甲的右边，丙在丁的右边．

4.【答案】①②③

【解析】四面体A­BCD的正视图是边长分别为3,4的矩形，对角线左上至右下为虚线，左下至右上为实线；侧视图是边长分别为4,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线；俯视图是边长分别为3,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线．故三视图为①②③.

拔高

1.

某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(

)

A．①③

C．①②③

B．①③④

D．①②③④

2．某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．

3．用小方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它至少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？

答案与解析

1.【答案】A 【解析】若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A. 2.【答案】见解析

【解析】借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥A-BMC1C.

结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥A-BMC1C中，AB＝1，BC＝1，AC＝2，155BM＝2，AM＝2，CC1＝1，AC1＝3，MC1＝2.

3.【答案】见解析

【解析】由俯视图可知此几何体应是有三行和三列，且第三列的第二行、三行都没有小立方块，其余的各列各行都有小立方块，再根据正视图，第一列中至少有一行是三层，第二列中至少有一行是两层，第三列第三行只有一层，这样就可推出小立方块的个数．最少要10个小立方块，最多要16个小立方块