1.1.3 四种命题间的相互关系名师教学实录

教案：1.1.3四种命题间的相互关系

一、【教学目标】

教学目标：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证; 2. 体会在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题这种间接证明命题的方法，了解它是反证法的一种; 3. 从生活中的命题问题出发，体会学习常用逻辑用语的意义；培养学生简单推理的思维能力. 教学重点：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系；

教学难点：能运用命题及其逆否命题间的等价性，判断或证明命题的真假性；

教法学法：通过小组讨论的形式，列举大量具体命题归纳得到原命题与逆否命题相同的真假性；

易错点：不能正确写出原命题的否命题及逆否命题；

易混点：混淆命题的否命题和命题的否定；

教具准备：多媒体课件. 二、【引入新课】

1.（Ⅰ）我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；

【设计意图】学生通过思考和讨论，回顾了本章研究的命题的形式，同时也将学生的注意力集中在思考四种命题的条件和结论的关系上．

三、【探究新知】

若p，则q

原命题

互

否

否命题

互逆

若p，则q

互逆

若q，则p

逆命题

互

否

逆否命题

若q，则p

互

否

逆为

逆

为

互

否

一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系，如图所示．

【设计意图】理解四种命题的概念，及通过关系图，让学生直观感受它们之间的相互关系，熟练掌握由一种命题出发，准确地写出其他三种命题的能力．

探究：四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？

探究一：判断真假：

原命题：到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上. 逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等. 否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上. 逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等. 原命题 ( ) 逆命题 ( ) 否命题 ( ) 逆否命题 ( )

探究二：判断真假：

原命题：若两个三角形全等,则它们的面积相等. 逆命题:若两个三角形的面积相等,则它们全等. 否命题:若两个三角形不全等,则它们的面积不相等. 逆否命题:若两个三角形的面积不相等,则它们不全等. 原命题 ( ) 逆命题 ( ) 否命题 ( ) 逆否命题 ( )

探究三：判断真假：

原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角

逆命题: 若两个角是对顶角，则这两个角相等. 否命题: 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角. 逆否命题: 若两个角不是对顶角，则两个角不相等. 原命题 ( ) 逆命题 ( ) 否命题 ( ) 逆否命题 ( )

探究四：判断真假：

原命题：凡是素数，都是奇数. 逆命题: 凡是奇数，都是素数. 否命题: 不是素数，就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数，就不是素数. 原命题 ( ) 逆命题 ( ) 否命题 ( ) 逆否命题 ( )

学生通过分组讨论，不难发现：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

既而总结出以下规律，即：

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

【设计意图】通过大量列举实例，让学生自主感受四种命题真假性的相互关系，使之更有说服力．

四、【理解新知】

1．四种命题的转化首先要找出原命题的条件和结论，然后写出命题条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构直接转化即可．

2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．有时命题的表示是简略式，此时应先分清命题的条件p和结论q，然后根据概念写四种命题．

3．判断四种命题的真假，首先要正确写出四种命题，如果直接判断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性判断命题的真假．四种命题的真假性是成对出现的．

4．注意命题的否定和原命题的否命题之间的区别：命题的否定指的是命题p这种形式的命题，得到的是p；原命题的否命题指的是命题“若p，则q”这种形式的命题，得到的是“若p，则q”．

5．等价命题转换法：在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题这种间接证明命题的方法，是反证法的一种．

五、【运用新知】

例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；

（2）在△ABC中，若ab，则AB．

分析：先把命题写成“若p，则q”的形式，再按照四种命题的关系写出逆命题、否命题、逆否命题．

解：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

（2）逆命题：在△ABC中，若AB，则ab．

否命题：在△ABC中，若ab，则AB．

逆否命题：在△ABC中，若AB，则ab．

【设计意图】指导学生熟练掌握四种命题的概念．

变式训练：命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）．

A．若一个数是负数，则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数，则它是负数

C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数

D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

答案：B．

例2 下列命题中为真的是（ ）．

①“若x2y20，则x,y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若x2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②

分析：

确定条件和结论

写出所求命题

判断真假

解：①原命题的否命题为“若x2y20，则x,y全为零”．真命题．

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．

③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x2不是有理数”．

x不是无理数，x是有理数．

又2是无理数，x2是无理数，不是有理数，故为真命题．

故真命题为①③，选B．

【设计意图】掌握四种命题的真假判断．

变式训练：下列命题中，真命题是（ ）．

A．命题“若ab，则a2b2”

B．命题“若b3，则b29”的逆命题

C．命题“当x2时，x23x20”的否命题

D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

答案：D．

例3 已知函数f(x)是(,)上的增函数，a,bR，证明：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0．

分析：

法一：

原命题

法二：

假设原命题不成立

逆否命题

判断逆否命题真假

推出矛盾

原命题真假

假设错误，原命题真

否定后的结论作已知条件

证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(,)上的增函数，以a,bR，若

ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)．”

若ab0，则ab,ba，又f(a)f(b),f(b)f(a)．

f(x)在(,)上是增函数，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，

即逆否命题为真命题．

原命题为真命题．

【设计意图】引导学生运用原命题与逆否命题逻辑等价，逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题，也是重要的考点．

变式训练：证明：若x2y20，则xy0．

证明：若x,y中至少一个不为0，不妨设x0，则x20，所以x2y20．

这与已知条件x2y20矛盾，故xy0．

六、【课堂小结】

1．原命题、逆命题、否命题与逆否命题四种命题的定义及其相互关系图．

2．由一种命题出发，准确地写出其他三种命题．

3．运用原命题与逆否命题逻辑等价、逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题．

七、【布置作业】

l．命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是（ ）．

A．若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

C．若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

2．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中（ ）．

A．真命题的个数一定是奇数 B．真命题的个数一定是偶数

C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D．上述判断都不正确

3．有下列命题：（ ）．

①“若xy1，则x,y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b1，则方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题；

④“若ABB，则AB”的逆否命题．

其中真命题是 （填序号）．

4．证明：若a24b22a10，则a2b1．

5．已知a,b,cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是（ ）．

A．若abc3，则a2b2c23 B．若abc3，则a2b2c23

C．若abc3，则a2b2c23 D．若a2b2c23，则abc3

6.设a,b是向量，命题“若ab，则a=b”的逆命题是（ ）．

A．若ab，则ab B．若ab，则ab

C．若ab，则ab D．若a=b，则ab

答案：l．B 2．B 3．①③ 5．A 6．D

八、【教后反思】

本节主要是依据四种命题及其关系是简单逻辑的基础来设计的．虽然本节内容较为简单，但是学生易忽视细节问题从而导致出错．所以本节注重定义的产生过程，让学生自主参与举例，并结合大量命题来探究四种命题的真假性，使得教学过程有根有源，学生理解自然．再通过三种题型的训练，让学生熟练掌握本节的重难点，达到学有所用的目的．在作业的选做题里选用近两年的高考题，让学生重视本节的基础知识，进一步明确考点．

九、【板书设计】

1.1.2-1.1.3 四种命题及其关系

引例： 例1 例3 作业

定义:：

例2 小结