3.1.2 导数的概念优质教案设计

《变化率问题》教学设计

郭世婷

教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修1-1》“3.1.1变化率问题”，

一、

教学内容分析

本节内容开启了微积分学，承担着让学生了解数学文化史的重任，导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的

“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。

从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。

基于上述分析

，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，会求平均变化率，会用平均变化率解决实际问题。

二、

学生情况分析

（一）、学生已有的认知基础

1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。并能从

图像中看出函数变化的快与慢。

2、学生已在物理中学***均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。

（二）可能存在的认知困难

1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。

2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。

基于上述分析

，我将本节课的教学难点确定为：通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。；

三、教学目标设计

1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；

2. 会求平均变化率

3.会用平均变化率解决实际问题。

四、教学过程设计

（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师布置】

：周末利用网络查阅了解微积分发展史，小组汇总，课堂分享

学生分享 老师汇总：微积分是随着函数概念的产生和应用的加深，以及科学技术的发展需要，微积分学作为一门新的数学分支继解析几何之后产生了。微积分研究对象函数的微分、积分，以及极限、导数、积分等有关概念和应

用。微积分的创立是数学思想史上的里程碑，也是科学思想史上的里程碑。微积分的创立人是英国科学家-牛顿和德国科学家-莱布尼茨，牛顿从苹果落地时速度越来越快的现象激发思考，展开探索，莱布尼茨从曲线的切线和曲线围成的多边形面积展开探索创立了微积分，而在他们之前已经有十多位数学家探究的领域里隐含着微积分的思想，古希腊的阿基米德的抛物弓形面积、螺线下的面积问题，我国的庄周所著《庄子》的“天下篇”——“一尺之锤，日取其半，万世不竭……”刘徽的《割圆术》——“割之弥细，所失弥小，割之又割，则与圆周和体而无所失矣……”牛顿和莱布尼茨是“站在巨人的肩膀上”于17世纪中叶，独立完成了微积分学的重要部分：积分与微分的互逆关系，所以一起被认定为微积分的创立者。

(二)、探究新知，揭示概念

实例一：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：很多学生小时候玩过“水气球”，随着气球内水容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗?让学生先通过观察直观感受。

【学生思考】

：

如何从数学角度量化呢？

3【教师过渡】:为了便于研究，把气球近似看成球，写出球的体积公V(r)3r4式，把r看成自变量。V看成关于r的函数，现在为了探究V对r的影响，把r写成关于V的函数

r(V)33V41、V从0变到1半径的变化量

V从1变到2半径的变化量

r(1)r(0)33300.62(dm)433231r(2)r(1)0.16(dm)442、当空气容量从V1增到加V2时，气球的平均膨胀率是多少？

r(v)r(v1)讨论得出： 2v2v1

实例二：高台跳水运动

【教学活动】：回放2008年广州亚运会吴敏霞跳水视频，让学生通过视频直观感受运动员的跳水轨迹，以及起跳后不同时段内速度变化规律

【学生思考】：

在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)= - 4.9t2+6.5t+10

。

1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？

2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。 3、当时间从t1到t2时，运动员的平均速度是多少？

（三）、分析归纳，抽象概括

【教学活动】：针对以上两个实例，教师引出问题：“我们通过气球的平均膨胀率、高台跳水问题”

1、实例一: 在气球的半径变化问题中，当体积从V1增加到V2时，

气球的平均膨胀率= r(v2)r(v1)v2v11、实例二：在高台跳水问题中，当时间从t1到t2时，

运动员的平均速度=

【学生思考】

：

1. 上述三个问题，有什么共同特征? 2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？

3. 下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算？

h(t2)h(t1)t2t1

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么?

讨论得出：

（四）、知识应用，深化理解

路灯B点距地面8m，一个身高为1.6m的人以1.4m/s的

速度从路灯在地面

上的射影点A沿直线AD离开

（1）求人影的长度y与人离点A的距离x之

间的关系式 （2）求人离开点C的第一个10s内人影长度

的平均变化率 （五）提出质疑，引出新知

观察图象，计算运动员在

0≤t≤这65段时间内的平均速度，思考： 49

(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？ (2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

(3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议或想法呢? （六）、归纳小结，提前预习

教师提出问题：

（1）这节课的教学目标是什么？

（2）平均变化率计算时要注意什么？

（3）课后预习下节瞬时变化率