习题4.1教案设计范例

圆的方程复习课

【教材内容解析】

圆的方程是高中平面解析几何》的重点内容之一,是在学习直线方程的基础知识之后．是进一步研究圆锥曲线的基础知识,研究圆的一般方程的方法也是进一步研究圆锥曲线的重要方法,也是高考的一个重点内容之一．

【教材目标、教学重难点】

（1）教学目标：

回顾圆的两种方程，会用待定系数法、几何法求圆的方程．

体验求曲线方程（点的轨迹）的基本方法，概括其基本步骤．

体会数学中一般与特殊、分类思想、转化与划归的思想．

（2）教学重点: 圆的方程的求法．

（3）教学难点: 求曲线方程（点的轨迹）的基本方法．

【学生学情分析】

这是一节复习课，主要是复习圆的标准方程和一般方程，及如何根据所给条件求出圆方程．对象是县里最差普高学生，学生基础普遍不好．学生数学基础参差不齐，相对来选用的例题要求不能很高，要符合学生的实际水平，整堂课都希望老师引导学生探究、思考，然后归纳、小结．

【教学策略分析】

本节课从由如下几个过程组成：1.复习引入，由简单的例子引出本节课的知识点，圆的两种方程；通过5个递推式例题让学生体会代数法即几何法的关联，然后通过探究提升回归到本节课本质，圆的定义，让学生从数形结合角度深层次理解圆，最后反思归纳．

这样的安排，给学生提供了一个研究数学问题的完整框架，不仅可以使他们学到“圆的方程不同求法”，更重要的是可以使他们在经历这一知识的探究过程中，体会它的背景，学习提出问题、给出猜想及其证明、从不同角度给出解释的方法，从而领悟研究数学问题的基本步骤和方法．

【教学过程】

1.复习引入

师：说出下列圆的圆心坐标和半径. (1)

(x+1)2+(y+1)2=1；

(2)

x2+y2+2x+2y+1=0. 生1：第(1)、（2）圆心都是(-1,-1)，半径都是1．

师: 第(1)中圆方程是圆的什么方程? 第(2)题中圆的方程是圆方程的什么形式? 生2: (1)是圆的标准方程，(2)是圆的一般方程．

师: 什么是圆的标准方程? 什么是圆的一般方程? 生3：圆的标准方程：(x-a)+(y-b)=r，一般方程：x+y+Dx+Ey+F=0．

师: 若方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则系数满足什么条件？

生4：需要增加：D+E-4F>0．

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【设计意图】以图开门山，以图回顾圆的概念，然后两个简单的圆的方程帮助学生回顾圆的两种方程．这样效果会比直接给出公式效果更好，更容易记忆公式.

2.自主探究

师：已知一个圆经过两点A(-2,0),B(2,0)，这样的圆有几个？确定圆的方程需要三个独立条件．

例

已知一个圆经过两点A(-2,0),B(2,0)．

（1）以AB为直径，求圆的方程．

生5：可以求圆心(0,0)，半径为2，方程为x2+y2=4. （2）半径为3，求圆的方程．

42DF0D0生6：设方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则42DF0，解得E25. F422DE4F32师: 方程形式能设为标准方程吗？

22a0(2a)(0b)9生7：可以.设方程为(x-a)(y-b)9，列出方程组，解得. 22b25(2a)(0b)922思考：此圆的半径是否可以为任意正实数呢？

在学生讲的过程中，用几何画板进行演示。计算机辅助教学可以引导学生观察、思考、猜测和尝试，对数学对象进行多重表征，使学生深入理解数学知识。通过数学实验激发学生，创新灵感，有利于培养学生的创新精神和实践能力。同时可以节省教学时间，增加课堂信息密度。

(4,2)，求圆的方程．

（3）过点D

42DF0D0生8：设圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则42DF0,解得E8. 204D2EF0F4)，然后求出半径25. 生9：也可以采用几何法.利用线段AB,BD的中垂线求出圆心坐标为(0,4

师：在方程的选择上:已知圆心坐标，通常用标准方程，已知圆上三点的坐标时通常用一般方程。像这类题目，既可以用代数法，也可以用几何法。但是我们发现几何法方便多了。从几何上通过研究圆的性质求出圆的基本量和方程，关键是：定圆心，求半径。

思考：若圆心坐标为C(1,1),圆的方程呢？

生10：利用|CA|r，得到方程(x1)(y1)10；

利用|CB|r，得到方程(x1)(y1)2. 师：怎么会出现问题？哪位同学知道？

2222

生11：圆心在线段AB的中垂线上，一定满足a0. 师：一般情况下，给出条件后，分析用代数法简便还是用几何法简便？

（4）圆心在直线xy10上，求圆的方程. 生12：由x0x0，则x2(y1)25. xy10y1（5）圆在坐标轴上的四个截距之和为3，求圆的方程.

学生思索中........ 师：设圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令x0，则xDxF0，所以222D，解得D0,F4. 22F令y0，则y2EyF0，所以3E. 所以圆的方程为x2y23y40. 3.拓展提升

已知线段EF端点E(4,6),端点F在(1)圆上，求线段EF中点M的轨迹方程. 在学生思考的过程中，用几何画板进行演示。计算机辅助教学可以引导学生观察、思考、猜测和尝试，对数学对象进行多重表征，使学生深入理解数学知识。通过数学实验激发学生，创新灵感，有利于培养学生的创新精神和实践能力。同时可以节省教学时间，增加课堂信息密度。

生13：|MG|1，由定义知：(x2)(y3)1. 【设计意图】通过递推式教学，让学生理解如何选择方法.并通过这些变式例题让学生理解代数法与几何法相互异同. 4.反思感悟

1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）

的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，

22

解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤：

（1）选用圆的方程两种形式中的一种

（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；

若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；

（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；

（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，

并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.

解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题. 5.课堂小结

一个知识：圆的方程；

二种方法：代数法、几何法；

三种思想：数形结合、方程思想、转化化归. 6.教学反思

课堂主要是学生学习用的，课堂上应由学生自主探究，提出问题并解决问题。在整个设计过程中，始终体现以学生为主体的教学理念，抓住本质。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，由图形给出知识点，复习圆的定义和方程；通过由学生自主探究，寻找增加的条件，借助几何画板演示，让学生从几何图形中提炼和挖掘数学知识，突显学生的主体，进行探究式教学；体会求圆方程的两种方法和进一步体会数形结合的思想方法、方程思想、转化与化归思想；以上种种正好体现出新课程的新理念。需要改进的有：一是由图形直接给出知识点如圆的定义，圆的方程引出课题的方式，会让学生有疲劳感，应强调数学意义的获得。二是注意每题解题方法后的提炼，用哪种方法解题更快。总之，教无定法，贵在得法，要突显课堂的学，一定要关注学生，激发学生。