4.3.2 空间两点间的距离公式优质公开课教案

一、教材的地位和作用

空间两点间的距离公式

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离。点又是确定直线、平面的几何要素之一，所以对以后点、直线、平面的距离公式的推导和进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。

二、教学目标

1．知识与技能：

（1）掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标。

（2）掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。

2.过程与方法：

通过空间直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。

3.

情感态度与价值观：

解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一问数学学科，在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想。

三、教学重难点

教学重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用 教学难点：空间两点间的距离公式的推导

四、教法学法和教具

创设问题情境——引导探究——归纳与总结，引导、启发、总结和归纳，把类比思想，化归思想贯穿始终以符合学生的现有知识水平的特点，从而促进思维能力的进一步发展，通过探索活动发现规律，解决问题，发展探究能力和创造能力。

教具：多媒体、三角板

五、教学过程

温故知新

1.

建立空间直角坐标系空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴.

记作：空间直角坐标系O-xyz. 2.空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中, 用一个三元有序数组来刻画（x,y,z).

x 是横坐标,

y 是纵坐标, z是竖坐标. 空间点的位置P3.长方体的长、宽、高分别为a、b、c. 则对角线长d=a2b2c2.

创设情境

一楼屋顶C’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达楼房角A处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4米，蜂巢能被击落吗？

设计意图：通过谈话的方式将知识与生活中有实际联系的蜂巢能否被击落的问题创设情境，增强讲授的吸引力，提高学生的兴趣。 思考1:平面内任意两点A(x1, y1), B(x2, y2)之间距离d(x1x2)2(y1y2)2

，

那么空间任意两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).间的距离是多少? 思考2：x2y2r2表示什么图形？

探究1：空间中点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？你猜一猜？ 设计意图：通过问答方式对已有知识的进行回忆，又对公式在形式上的对比、类比，让学生大胆思考、大胆猜想，培养学生合作、交流、探究的能力。 一、空间两点间的距离公式

1.空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。（PPT演示推导过程）

设计意图：建立空间直角坐标系，将线段op的距离放在长方体中，转化为的体对角线的长。用最熟悉的模型去解决未知的问题。对接下来空间中任意两点距离公式的推导做铺垫，由易到难，锻炼学生解决问题的能力。

思考3：如果|OP|是定长r，那么 表示什么图形？

x2y2z2r2（教师引导，学生自主思考。体会数学的统一对称美。）

2.

空间任意两点间的距离公式公式推导（PPT）

给定空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).

ACA1C1y1y2，CDC1D1x1x2，BDB1D1z1z2

ABACCDDB(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

222

同名坐标差的平方和的算术根

公

式: AB(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

特别: 点P(x, y, z)到原点o的距离是dx2y2z2

两点间的距离公式本身就是坐标法的应用，同时再通过一系列的典型例题，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理归纳出坐标法的一般步骤，从而突出重点、突破教学难点． 坐标法的基本步骤：

1.建立适当的坐标系,用坐标表示有关量, 2.进行代数运算, 3.把代数运算”结果翻译”成几何关系 3.公式应用

例1.（1）在空间中求A、B两点之间的距离:

(1)A(2, 3, 5)，B (3, 1, 4)；

(2)A(6, 0, 1)，B (3, 5, 7) （2）

在z轴上求一点M ，使点M到点

A(1, 0, 2)与点B(1, -3, 1)的距离相等. （3）如图正方体OABC-D‘A’B’C’的棱长为a，|AN|=2|CN|, |BM|=2|MC’|,求MN的长. 分析：在建立空间直角坐标系后，关键是写出点M和点N的坐标。

例2.已知A（1，-2，11）,B（4，2，3），C（6，-1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。

分析：证明几何图形的形状。

例3.在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M, 使M到点N(6, 5, 1)的距离最小. 分析：此题为定点到一动点的距离的最值。空间问题转化为代数问题利用函数思想求最值，主要体现了转化思想和函数思想。

设计目的：通过基础练习，让学生独立完成，这样做是为了巩固所学知识，加深对两点间距离的公式的理解，并从学生练习过程中得到反馈信息,了解教学效果.

六、课堂小结

1空间两点的距离公式的推导；（一个公式）AB(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

2距离公式的应用（三个思想）

（1）已知两点坐标，直接利用公式求距离

（2）已知距离，求满足条件的点，利用方程思想处理。

（3）距离的最值。空间问题转化为代数问题利用函数思想求最值，主要体现了转化思想和函数思想。

七、正式作业：(1)课本p139 B组 1. (2)课时作业p74 B 5.

随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，就甲

很快做成一单大生意，升为部门经理；乙业绩很差，还是一个业务员，并且是甲的手下。乙心理不平衡，就去庙里找和尚，求神明相助。和尚说：“你过三年再看。”三年后，他找到和尚，很沮丧地说甲现在已经是总经理了。和尚说：再过三年再看。三年

又过去了，他又去见和尚，气急败坏地说：甲已经自己当老板了。和尚说：我也从普通和尚升为方丈了。我们都是自己，你是谁？我们都为自己活着，监管着自己的责任，你在干什么？你痛苦地为甲活着，监管着他，你丢的不是职位、金钱和面子，你丢掉了自己。一年后，乙又来了，幸灾乐祸地说：和尚你不对，甲公司破产，就这样一辈子把自己给弄丢了。你看到别人一路畅通时，心中是否会愤愤不平？看到别人失意落魄时，又是否会幸灾乐祸，沾沾自喜？其实别人的好与坏，与你又有什么关系呢？你需要要做的其实只是自己。真正智慧的人，在人生追求的路上，只有不断的自我升级，对照别人的一切，不断的鞭策自己，一路坚持，才能不断的升华，实现人生的梦想。

一位少年家境贫寒，为了生计，他到一个庄园主家里当工人。他很勤奋，也很卖力，生怕自己干不好被辞退。庄园主是一位绅士，对待工人很友善。一天，他突然接到一个电话，那边传来一个中年人的声音：“先生，您需不需要工人？”庄园主摇了摇头，轻声地说：

“对不起，我有工人了，不需要。”我绝对可以起早贪黑干活，我的工钱可以减半！”对方急忙说。不，我的工人非常勤快，真不需要。”庄园主有礼貌地补充说。我保证一刻也不闲着，包括所有角落的灰尘都擦到。”对方又说。我家的工人也是这么做的，像你一样细致。”庄园主回答说。对方无奈，只好挂断了电话。庄园主不知道，安排打这个电话的，正是在庄园里干活的那位少年。那一天，他拿着发的第一个月的薪水，跑到镇上，找来自己的叔叔，用全部的薪水支付电话费用，然后让叔叔给庄园主打电话。叔叔搞不清楚他在做什么，便问他说：“孩子，你就在那里做工，怎么还问人家需不需要工人？”少年听后笑了，对叔叔说：“叔叔，我在那里做工，就要对他们负责，我只想知道，在他们心中，我做得怎么样，被不被认可。”叔叔顿时对这个侄子刮目相看，认为他将来必有出息，蹲下来告诉他：“孩子，将来无论你做什么，你都要记住你的那句话，经常问客户你做得怎么样……”少年后来就跟在叔叔身边做生意，生意做得越来越好，最后离开了叔叔独自创业，跳槽到纽约一家公司，从零开始自己的职业生涯，逐渐出人头地。他叫范德利普，后来作为总裁，领导花旗银行十年。这十年的时光中，他的战略就是发展国内中小企业客户，而他每年都有大半的时间在各地跑，做调研，只为征求客户对银行的意见，再有针对性地改进。花旗银行在他的带领下实现了跨越式发展，在他任职的第二年，便成为美国第一家总资产达数亿美元的银行，为它的辉煌发展打下了坚实基础，这就是一个企业家最大的智