1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学设计一等奖

1.3 空间几何体表面积与体积第一课时

柱体、锥体、台体的表面积与体积

黄石市第二中学 万莲艳

教材分析

本节内容是人教A版数学必修2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第1课时柱体、锥体、台体的表面积与体积，这是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学任务是：一是根据柱、锥、台的结构特征并结合它们的展开图，推导它们的表面积计算公式；二是在初中学习几何体体积的基础上并结合祖暅原理进一步学习几何体的体积．

教学目标

知识与能力：柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用，通过解决棱柱、棱锥、台体的表面积和体积问题培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力．

过程与方法：通过多面体表面积计算的探讨体验到面积累加的思想方法；通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的推导过程，体验侧面展开，化曲面为平面的解题方法；通过柱、锥、台体积公式的探究，体会到几何体体积的联系. 情感态度与价值观：通过学生实际操作和观察学习，和谐、对称、规范的图形，给学生以美的享受，使学生感受到几何体表面积和体积的求解过程对自己空间思维能力影响，从而增强学习的兴趣．

教学重点、难点

重点: 探究柱体、锥体、台体的表面积与体积公式的计算方法，能计算简单组合体的表面积和体积． 难点：用联系、类比运动变化的思想推导柱体、椎体、台体的表面积、体积公式．

教具准备 多媒体课件、简单几何体模型和实物（学生分工分组亲自制作）. 课堂模式 自主探究

一、

引入新课：

给出北京奥运会场馆图，建筑师建筑场馆，想要知道究竟要用多少材料，必须计算它们的表面积和体积，引出这节课，探究柱体、椎体、台体的表面积和体积. 首先教师提出问题：在过去的学习中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积求法和它们的展开图，请大家回忆一下，它们的展开图是什么呢？怎样来求它们的表面积？

老师演示正方体和长方体的展开图如下，并引导学生回忆和回答．

图1 正方体及其展开图 图2 长方体及其展开图

然后设置疑问：正方体和长方体的表面积可以利用它们的展开图（平面图形）来求面积，那么，柱体、锥体、台体的表面积是否也可以利用它们的展开图来求呢？它们的侧面展开图又是什么呢？如何计算它们的表面积？

1

这里强调空间问题平面化的数学思想。

由特殊到一般，从正方体、长方体，推广到一般多面体，利用空间问题平面化的数学思想，可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积．

【设计意图】复习表面积的概念，介绍求几何体表面积的方法(把空间问题转化为平面问题).在回顾已学知识的同时，也为介绍柱体、锥体、台体的表面积作铺垫，同时引导学生将几何体展开为平面图形时一定要注意在何处展开：多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开. 二、探究新知:

1．探究多面体表面积的求法：

学生：全班分成6个小组，分组讨论：棱柱、棱锥、棱台图形的侧面展开图是什么？表面积如何求？

分组汇报探究成果

教师：对学生讨论归纳的结果进行点评，并梳理总结出：

一般地，棱柱的侧面是若干个平行四边形组成，棱锥的侧面是若干个三角形组成，棱台的侧面是若干个梯形组成。计算它们的表面积就是计算各个侧面积和底面积之和。

例1．

已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积．

学生：自主探究，分析题目，计算出结果．

教师：提供出规范的解题过程如下：

S解：先求△SBC的面积,过点S作SDBC,交BC于点D．

a3因为BCa,SD=SBBDaa.

222222ABC

所以

SSBC11332BCSDaaa.

222432a3a2.

4因此,四面体的表面积S4【设计意图】具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间，同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础．

2．探究旋转体的表面积的求法：

思考：如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

教师：引导学生分析得出：对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积．

学生：全班分成6个小组，分组讨论：圆柱、圆锥、圆台图形的侧面展开图是什么？表面积如何求？

分组汇报探究成果

①探究圆柱的表面积的求法：

图柱的侧面展开图是矩形，其长是圆柱底面圆周长，其宽是圆柱的高（母线），

2设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则有圆柱的底面积为r，侧面面积为2rl，因此圆柱的表面积2

为

：

S2r22rl2r(rl)

②探究圆锥的表面积的求法：

圆锥的侧面展开图为一个扇形，其半径是圆锥的母线，其弧长等于圆锥底面周长，

设圆锥的底面半径为r,母线长为l,

③探究圆台的表面积的求法：

探究：(1)联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台的展开图的形状，并画出它吗？

(2) 如果圆台的上、下底面半径分别为r,r,母线长为l,你能计算出它的表面积吗？

那么扇形面积(圆锥侧面展开图面积)为rl，

所以圆柱的表面积为Sr2rlr(rl)．

课堂实录：对于圆台表面积的求解，学生的思路没有问题，都知道还台为锥，用补的思想，但是具体的计算有些学生有问题．表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设OAl使得计算复杂；第二是根据三角形相似列式时出错，比如有学生列出的比例式是最后学生独立给出：

rOA等等．

rlrOArl，那么OA，

rOAlrrrlrl那么扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积，即rlrrlrl，

rrrr22所以圆台表面积为(rrrrlrl)． 根据相似三角形得出例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1．5 cm，盆壁长15 cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．

已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升，可用计算器）？ 分析：油漆位置在什么地方？→

如何求花盆外壁表面积？

只要求出每个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积．

3

教师：提供出规范的解题过程如下：

由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积

1515201.5S[()21515]()22222

1000(cm)20.1(m2)所以涂100个花盆需油漆：0.11001001000 (毫升）．

答：涂100个这样的花盆约需1000毫升油漆．

【设计意图】正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，同时要注意重合部分的处理让学生.通过日常生活中的实例解决具体的探究几何体的表面积问题，具体体验应用公式的能力以及熟悉半径、母线等含义；主要考察学生的实际应用公式能力和日常生活观察能力及空间想象能力. 3.柱体、锥体、台体的体积公式

首先回顾了等底等高的三角形面积相等，由此推广：等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？让学生猜想。

并引入一个教室随处可见的一个事实：取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实可以得到什么启发? 追问：等高、等截面积的柱体体积是否相等？

学生大胆猜想：相等

再问：这个猜想有没有理论依据？（引出祖暅原理）

祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就。祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理。

祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲知道17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年~1647年）提出上述结论 （渗透中国古代数学史、数学文化，增强学生的民族自信）

复习回顾

我们已经学习了计算特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式.

它们的体积公式可以统一为VSh(S为底面面积，h为高)，

探究柱体体积公式

结合祖暅原理，师生共同探究出，一般柱体转化为等底等截面等高的长方体体积来求

一般柱体的体积为VSh，其中S为底面面积，h为柱体的高(棱柱或圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点向另外一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离) 结合祖暅原理，用图形动画展示，师生共同探究出等底面积等高的两个锥体的体积相等 探究锥体体积公式

给出等底等高的一个三棱柱和一个三棱锥，由学生探究棱柱与棱锥的关系

4

课堂实录：有些困难，有些学生根本不知道要分割，第二如何将三棱柱分割成三棱锥？

11，即棱锥的体积VSh(S为底面面积，h为高). 3311圆锥的体积公式为VSh(S为底面面积，h为高),它是同底等高的圆柱的体积的. 33棱锥的体积也是同底等高的棱柱的体积的

一般锥体的体积公式为V1Sh，其中S为底面面积，h为锥体的高(棱锥或圆锥的高是指从顶点向3底面作垂线，顶点与垂足之间的距离) 探究台体体积公式

课堂实录：由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式，但是推导台体的体积公式有困难，但是前面求圆台侧面积的经验可以给学生启发，经过分组讨论，合作探究，学生能独立求出正确的体积公式

和r，圆台的上下底面积分别分析：（以圆台为例）：如图，设OOx，上下底面的半径分别为rO''为s和s．

s xrxhrssxshs

sso'

r'orｈ

l11111v台=s(hx)sxshsxsx33333

1111hs111sh(ss)ssh(ss)sh(ss)hsh(ssss)333ss

333 3

1V(SSSS)h，其中S,S分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)的高. 3

思考2；柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

5

三、理解新知：

对于圆柱、圆锥、圆台的表面积公式可以用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可以看作上下两底面全等的圆台；圆锥可以可以看作上底面为零的圆台，因此圆柱圆锥可以看作圆台的特例.这样圆柱圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.同理柱锥台的体积公式也是有它们之间的关系决定的，这样，在台体的公式中，令上下面积相等，得到柱体的体积公式；令上底面的面积为零得到椎体的体积公式. 四、运用新知：

例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？

教师分析：六角螺帽的几何结构特征？

→

如何求其体积？

→

如何求正六边形的面积→

利用哪些数量关系求个数？

解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:

v3101226103.14()21042 2956(mm3)2.956(cm3)

所以螺帽的个数为

5.81000(7.82.956)252

答：这堆螺帽大约有252个. 【设计意图】让学生了解六角螺帽的机构特征，熟悉正六边形的特点及其求正六边形面积的方法（分割法）、如何求组合体的体积，以及让学生熟悉掌握对于体积公式的具体应用能力.让学生掌握求体积的关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题的思想. 五、课堂小结：

1.柱体、锥体、台体的表面积： （1）多面体：各面面积之和（空间问题化为平面问题） （2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：

2．柱体、锥体、台体的体积：

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六、布置作业：

必做题：课本P28 A组1.3. 选做题：课本P30 B组2.

七、教后反思: 教学设计亮点：本节主要用联系的观点看待柱、锥、台体的表面积和体积公式、并且推导出柱、锥、台体的表面积，还引入祖暅原理探究推导体积公式，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。整节课条理清晰，层层深入，逻辑关系紧密，虽然容量大，但从学生课堂实录来看，学生在自主探究下，能独立探究出结论。在教学过程中让学生体会类比思想，划归思想及转化思想，把主动权交给学生：通过学生动手操作，直观感知，自主探究，合作交流等方式归纳、总结探索出常见几何体的表面积和体积，根据课标要求，适当控制例题、习题的难度，以基础为主，提高学生基本能力及学习兴趣. 课堂教学不足之处：本节内容多、公式多、习题少，借助祖暅原理探究推导体积公式进一步加深了难度，课堂时间有限，对公式的记忆及灵活运用需要学生课下去消化巩固。

八、板书设计: 柱体、锥体、台体的表面积与体积

一、课题引入

二、柱体、锥体、台体的表面积

1多面体的表面积求解

2旋转体的表面积公式

三、柱体、锥体、台体的体积

四、典例讲评

五、归纳小结

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