3.3.4 两条平行直线间的距离教案和学案内容

《3.3.4两条平行直线间的距离》

教学设计

牡丹江市第二高级中学 赵丽君

一、教学目标

1、使学生理解什么是两条平行直线间的距离；

2、如何求两条平行直线间的距离。

3、让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系；

4、用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想；培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。

二、教学重点、难点、突破方法

教学重点：两平行直线间距离公式的求法。

教学难点：两平行直线间的距离的求法及灵活应用。

突破方法：学生自主探究和合作探究后，将成果投影展示，再共同学习研究。

三、教学方法、教学辅助

教学方法：合作探究式。 教学辅助：多媒体屏幕和投影仪。

实施过程与方法：

（1）从生活实例中，抽象出数学的模型“两条平行直线”，培养学生直观想象和数学抽象的核心素养；

（2）通过探究方法的深入，理解求两条平行直线间的距离的方法，培养学生逻辑推理、数据分析、数学运算的核心素养。

（3）在两平行直线间距离公式求解方法的探究和展示中，培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力。

四、教学过程

（一）、温故

1、两点间的距离公式？

学生：已知两点

P(x1,y1)和Q(x2,y2)，这两点间的距离为

|PQ|(x2x1)2(y2y1)2

2、点到直线的距离公式？

学生：点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：

d

Ax0By0CAB22。

3、类比：两点间距离，点到直线的距离，我们下面还需要学习什么呢？ 学生：线线之间的距离。

教师：什么样的直线间距离？平面内两条直线的位置关系是怎样的呢？引导学生说出，两条平行直线间的距离。

设计意图：设置情境，导入新课，温故知新。

（二）、知新

1、请列举，观察生活中能抽象出两条平行线的实物，你发现了什么？

学生：铁轨的两个轨道，课桌相对的两边，黑板相对的边，跑道的直道处等等。

教师：从这些生活中的实例中，我们可以抽象出两条平行的直线，观察这些平行的直线，有何不同？

学生：间距不同。

2、什么是两平行线间的距离？请给出定义。

学生活动：尽量表述的准确。

教师活动：教师针对学生的表述，引导出定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。

3、探究问题1：什么是两条平行直线间的公垂线段？是两条直线上各自任意取一点连线的线段么？

学生活动：学生会比较容易画出两条平行直线间的公垂线段。

教师活动：引导学生准确画出公垂线段，并说出画法，说明只有公垂线段的长能刻画出两条平行的直线间的距离。

设计意图：让学生明白究竟什么是两平行线间的距离。

4、探究问题2：两条平行直线间距离的特征：夹在两条平行直线间公垂线段的长处处相等。

学生活动：学生发现并证明，两条平行直线间的公垂线段处处相等。

教师活动：引导学生到黑板前给大家展示说明。

5、深入探究：如何求两条平行直线间的距离？

学生活动：求公垂线段的长。

教师活动：根据学生黑板上展示的公垂线段，说明两条平行直线间的距离就是求线段AB的长。特殊举例说明求法。

例1：求平行直线l1:x2y40与l2:x2y60间的距离。

学生活动：学生小组讨论，分组展示不同的作法。

教师活动：引导学生将导学案上的作法投影到屏幕上，给大家讲解不同的思路和方法，师生互补共同总结。

设计意图：通过这道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

学生A展示方法一：几何法

利用平行线的性质和相似三角形相应边之间的比例关系，说明EF是两条平行直线间的公垂线段的长。

EFOEOFOE35OEOE225OBOA524252AB225

师生活动：引导说明这是把求两条平行直线间的距离转化为求两点E、F之间距离。所用的方法是平面几何的方法。同时说明此法，是在两条平行直线之间取坐标原点，分别作两条平行直线的垂线段，求距离。

引导学生发现，若取平行线之间的点，取的不是坐标原点，是其他位置上的

点，能不能求解？引发思考回答。

学生B展示方法二：代数法

在直线l1:x2y40上取一个特殊点P，求点P到直线l2:x2y60的距离，即可。

师生活动：将求两条平行线间距离的问题转化为了求点到直线距离的问题。取点位置是取直线上的某特殊点P。也可以为了计算简单，取直线与坐标轴的交点作为点P。

学生C展示方法三：代数法

在直线l1:x2y40上任意取一个点pa，b，则a2b40，

a2b4

点pa，b到直线l2:x2y60的距离为

da2b612224612221025

5平行直线l1:x2y40与l2:x2y60间的距离为25

师生活动：将求两条平行线间距离的问题转化为了求点到直线距离的问题。取点位置是取直线上的任意点P。计算也很简洁。

说明此时取直线上的特殊点和任意一点都可以求距离，计算量都很简洁。

学生C展示方法四：代数法

在两条平行直线外取一点，比如在直线l1:x2y40上方任意取一个点pa，b，则a2b40，a2b60. 平行直线l1:x2y40与l2:x2y60间的距离为

PQMQMPa2b61222a2b41226422a2b6a2b4122212210255

平行直线l1:x2y40与l2:x2y60的距离为25

师生活动：将求两条平行线间距离的问题转化为了求点到直线距离的问题。取点位置是取与两条平行直线同侧的任意点P。

学生C展示方法五：代数法

求与直线l1:x2y40和l2:x2y60垂直的直线l。

将l与l1联立求出交点P，再将l与l2联立求出交点Q，再求两点P、Q之间的距离。

师生活动：引导说明这是把求两条平行直线间的距离转化为求两点P、Q之间距离。

引导学生发现，在求直线l的过程中，可以直接写出其中一条即可，例如：设直线为l:2xy0。引发思考回答，若直线写成l:2xy10行不行？若直线写成l:2xym0行不行？（其实都可以，最终结果一致）

师生活动：整理学生展示的方法，归类并总结，无论是几何法还是代数法，最终都转化成求两点间距离和点到直线的距离，只是取点的位置有所不同而已。

那么推广至一般，有没有类似点到直线的距离公式那样的结论呢？

设计意图：通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法。在两平行直线间距离公式求解方法的探究和展示中，培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力。

思考：以上方法，无论是怎样的思路、转化和计算，最后都有d10525。

这与两平行直线l1:x2y40与l2:x2y60方程的系数有什么关系呢？

5、推广：任意两条平行线间的距离是多少呢？

学生活动：学生观察后，会比较容易得出结论：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20，则l1与l2的距离为

dC1C2AB22

师生活动：教师引导学生将导学案上的作法投影到屏幕上，给大家讲解针对一般式选用的方法，师生互补共同总结最优方法。

证明：设P0(x0,y0)是直线l2：AxByC20上任一点，则点P0(x0,y0)到

直线l1：AxByC10的距离为d又

Ax0By0C20

即Ax0By0C2，∴d＝Ax0By0C1王新敞AB22

C1C2AB22

王新敞所以，两条平行线直线l1：AxByC10与l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2AB22。

设计意图：进一步培养学生化归转化的思想，开拓学生思维，培养学生解题能力。

6、结论：两条平行线直线l1：AxByC10与l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C222

AB。（三）、习之

1、例2、已知直线l1：2x7y80，l2：6x21y10，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离。

学生活动：学生自己做出结果，并投影讲解。

教师活动：注意两条平行线直线l1与l2方程x与y前的系数要统一。再代用公式。

总结：求两条平行直线间的距离的方法

转化法：几何法，代数法转化为两点间距离和点到直线的距离；

公式法：dC1C2AB22

2、练***行于直线xy80且与其距离为3的直线方程是

。

练习2：求两条平行直线3x4y120与ax8y110间的距离。

练习3：已知两条平行直线

3x2y60与6x4y30

。

求与它们等距离

的平行线的方程。

设计意图：学习了新的公式，在平时的练习中就要应用公式解决问题，使得问题简洁化，这也是学习新知识的意义。

（四）、总结归纳

总结本节课的收获。

师生活动：

知识层面：

（1）两平行线间的距离的定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。

（2）两条平行直线间距离的特征：夹在两条平行直线间公垂线段的长处处相等。公垂线段的长能刻画出两条平行的直线间的距离。

（3）求两条平行直线间的距离的方法

转化法：几何法，代数法转化为两点间距离和点到直线的距离；

公式法：两条平行线直线l1：AxByC10与l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C222

AB。2、方法层面：

（1）类比学习知识的方法；

（2）用旧知识解决新问题的方法；

（3）要有分析问题、解决问题和转化问题的能力，用严谨的逻辑思考，能使思路开阔；

（4）体会数学抽象、逻辑推理、数据分析、数学运算的核心素养，对解决数学问题的重要；

（5）数形结合的思想方法在解析几何中的重要作用。

设计意图：培养学生理清思路，归纳整理的能力。

（五）、板书设计：

1.定义：

2.求法：

（六）、课后作业：

1、课后练习1,2 3.3.4两条平行直线间的距离

3.典例讲解

学生板演

4．练习

2、两平行直线3x4y10与6x8y30关于直线l对称，求l的方程.