1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）板书设计

文数立体几何的体积问题（教案）

高三数学

纪文慧

一、教学目标：

①知识与技能：了解文数立体几何的体积涉及的考点，学会利用已知条件求对应图形的体积。

②过程与方法：通过求体积问题的学习，培养学生转化和化归的思想，同时掌握立体几何求体积的步骤方法。

③情感态度价值观：培养学生对空间立体几何的认识能力和观察能力，以及空间思维能力和分析解决问题的能力，进而培养了学生对立体几何的兴趣爱好，更有利于培养学生今后对生活事物细微的洞察和了解。

二、教学重点：

本节课的教学重点在于让学生分析归纳求体积的步骤，以及求体积过程中涉及到的求底面积和高的方法

三、教学难点：

本节课的难点在于求体积的问题中，求底面积的方法和高的方法比较多，而且要根据题干求解相应的未知量，需要整个知识体系的学习，对学生的要求比较大。

四、教学过程：

一：求体积公式和方法

常见的体积公式

柱体的体积：

椎体的体积：

从体积公式我们不难发现，解决体积的问题关键是求解底面积和高，我们可以对底面积和高的求解方法做总结

1、

底面积的求法

（1）

矩形的面积：S=ab （2）

菱形的面积：

(

为两条对角线）

（3）

三角形的面积：

或：

（4）

不规则图形的面积：利用图形性质切割

2、

高的求法

求高的关键是要先证明柱体椎体的高，即要证明某直线垂直于所在底面。

求体积的方式如下：

（1）

直接法：若题目有提到已知直线垂直关系，则可以利用垂直关系直接求解。

（2）

等体积法：利用已知椎体的体积V和指定面的底面积S，公式逆用求高

（3）

性质法：利用中点，等分点等性质求高（即按比例放大缩小椎体柱体的高）

（4）

替换法：①利用平行线与面平行，平行线上任何一点到平面的距离相等，可替换成其他顶点(如图一，若A为OB的中点，则A到面的距离hA是B到面的距离hB的一半。) ②平面的对称点或者对称比例点，找到比例距离替换点。（如图二,hA=hB）

B B

A O O A 二、求体积的基本思路

掌握了求解体积的公式和技巧以后，对于解题的步骤和基本思路我们也要有方向，通常来说，每个立体几何解题的时候可以回归成两个问题

（1）

选择哪个面作为底面，选择哪一段作为高。通常来说，求椎体体积考查相对较多，如果是三棱锥，则任三个顶点所在平面都可以作为底面，而如果是四棱锥的话，底面一定是四点共面的四面体，在选择高时，一般要根据条件选择有明显垂直关系的边作为高，这样后面可以在证明高的时候有明确方向。

（2）

对于长方体而言，长宽高已知的情况下才能求解出体积，求各种椎体体积也不例外，我们可以把椎体理解成三个方向，如果三个方向的长度已知时，那么后面求解也就比较容易，若任何一个方向长度未知，则要先求解出相应的未知边。

具体的思路如下：

1求体积先确定底面积和高（底面积：三点成面，如果四点则要先证明四点共面

高：尽量要选择已知垂直或者可证垂直的）

2三个主要长宽高方向长度是否齐全：

①整体未知：设未知边为a，全部未知长度都用a来表示，并利用已知体积求解未知边。

②局部未知：利用已知长度或角度先求出局部边长，再设未知边为a，利用已知关系求解。

3求出底面面积

4证明垂直关系并求解高

5利用体积公式求解体积。

三、求体积的实例分析

我们以具体的事例来分析整个体积问题的解题思路的方法。

2汕头二模：

如图，多面体PABCDE,PA⊥面ABCD,四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，EC∥PA,EC=

PA,设AC∩BD=G (2)若PB⊥PD,三棱锥P-ABD的体积为

，求点G到面PDE的距离。

五、教学小结：

立体几何是一道考查图形几何特征题目，它需要学生对图形有很强的观察和分析能力的一道题，同时，也要有方向性地去培养学生思考，在立体几何的教学过程中，要先注重方法，也就是让学生知道自己要“想什么”，然后再告诉学生“怎么想”，让学生有目的性地去展开思考，同时及时做总结，并用类似的变形题提高学生思维，达到良好的训练效果，让学生学习立体几何更有方向性和针对性，从而对解决立体几何题目更有信心。