习题1.3PPT及课堂实录内容

考点定位

2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.

考点定位

高考对本部分内容的考查以读图、识

图能力以及空间想象能力为主,重点考查根据几何体的三视图确定其体积或表面积,在考查三视图的同时,又考查了学生的空间想象能力

及运算与推理能力．

【命题规律】从近几年的高考试题来看,三视图是高考的热点,题型多为选择题、填空题,难度中、低档．高考对三视图的考查主要考查由三视图得出几何体的直观图,求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；试题难度逐年有所增加,近几年组合体、几何体的切割及非正常状态下放置的棱锥的三视图成为高考考查的热点.

真

题

感

悟（母题呈现）

1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是则它的表面积是(

)

A.17π

B.18π

C.20π

D.28π

28π，3解析

由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过1球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的后得到的组合体，871其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，易得球的半径为28471则得S＝×4π×22＋3×π×22＝17π.

84

2.(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(

)

A.90π

C.42π

B.63π

D.36π

解析

法一：

(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.

将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱11体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝2263π.

1法二

(估值法)由题意知，V2圆柱

求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑．

3.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(

) 3πππA.π m

B.

C.

D.

424解析

如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径

1R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝. 2∴底面圆半径r＝OA2－OM2＝333π，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·×1＝. 242考

点

透视

1.空间几何体的三视图

(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等.

(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.

2.空间几何体的两组常用公式

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：

①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；

1②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；

21③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；

2④S球表＝4πR2(R为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式：

①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

1②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

34③V球＝πR3.

3热点一

空间几何体的三视图与直观图

【例1】

(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆2

柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(

)

解析

(1)由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图. (2)(2017·泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于(

)

A.42

B.34

C.41

D.52

(2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥P－ABC(如图所示). 棱锥最长的棱长PA＝25＋16＝41.

三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．

【训练1】

(1)(2017·兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为(

)

A.1

C.3

B.2

D.4

解析

(1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示. ∴三棱锥P－BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD，

11因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD＝2×1×2＋2×1×2＝2. (2)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

(2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①，故其侧视图为图②.

热点二

几何体的表面积与体积

命题角度1 空间几何体的表面积

【例2－1】

(1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

) A.20π

B.24π

C.28π

D.32π

解析

(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h. 由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4. 所以l＝22＋（23）2＝4. 1故该几何体的表面积S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

2(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

)

A.10

B.12 C.14

D.16

(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，

1S梯＝×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.

2方法规律

1.由几何体的三视图求其表面积：

(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.

(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.

2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

【训练2】

(2017·枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三1个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，3则它的表面积是________. 解析

由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥B－A1C1D(如图所示). 11设正方体的棱长为a，则几何体的体积是V＝a3－4××a2·a＝32131a＝，

33∴a＝1，∴三棱锥的棱长为2，

因此该三棱锥的表面积为S＝4×命题角度2

空间几何体的体积

【例2－2】

(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(

) 33

A.3

B.

C.1

D.

223解析

(1)如图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝2AB＝3，

又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－3×(2)2＝2

41SVABDCB1DC1的底面B1DC1上的高.113B1DC1AD＝1×1×2×3×3＝1. 32

1

(2)(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何4体的体积为________

(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长1方体和两个半径为1，高为1的4圆柱体构成，所以1πV＝2×1×1＋2×4×π×12×1＝2＋2. 方法规律

1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.

2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.

【训练3】

(1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(

)

121212A.＋π

B.＋π

C.＋π

333336

D.1＋2π

6.解析

(1)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可211423122得半球半径为，从而该几何体的体积为×1×1＋×π×＝＋π.

23233622)(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

) A.60 B.30

C.20 D.10

(2)由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A1－BCD，VA1－BCD11＝××3×5×4＝10.

32

热点三

多面体与球的切、接问题

【例3】

(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(

)

A.4πB.9π32π

C.6πD.

23解析

由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.

要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.

11则2×6×8＝2×(6＋8＋10)·r，所以r＝2. 2r＝4＞3，不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大. 3由2R＝3，即R＝2. 49故球的最大体积V＝3πR3＝2π.

方法规律

1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.

2.若球面上四点P，A，B，C 中PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.

【训练4】

(2017·济南一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(

)

A.36π

B.64π C.144π

D.256π

解析

因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC11的体积取得最大值.由3×2R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π.