阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用教案评析

圆锥曲线的光学性质及其应用

一、教材分析

人教版选修1-1课后阅读材料“圆锥曲线的光学性质及其应用”向学生展示了数学在光学上的应用价值，展示了数学的神奇功能，对学生具有很强的吸引力，能很好的培养学生学习数学的兴趣，而且还能提高学生解决实际问题的能力。课后阅读材料是教材内容的一个重要组成部分，具有较强的教育功能。

二、教学目标分析

了解三种圆锥曲线的光学性质，并能对椭圆的光学性质进行数学证明。能通过对一些生活现象的观察提出数学问题，再用数学的方法加以证明。通过学习圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性及其广泛的应用型。学会如何阅读，如何思考与数学有关的材料。

三、学情分析

学生已学完解析几何全部课本知识，对用解析法解决几何问题的思想、方法已基本掌握，另外，学生已学习过导数知识，因此能用导数工具求切线斜率，同时了解光的传播的有关知识。信息时代学生的知识面比较广，能数列利用书籍、网络搜索各方面的知识。

本节课在性质的证明上有所侧重，重点证明了椭圆的光学性质，抛物线和双曲线的光学性质的证明只做出展示，留给学生课后再拓展研究。

四、教学流程

1.通过电影放映机的光源位置设置，引入本节课的主题；

2.重点证明椭圆的光学性质，对抛物线和双曲线的光学性质做出展示；

3.比较三种曲线光学性质能达到的效果；

4.实际应用重点研究反射式天文望远镜的光学原理；

5.大量展示圆锥曲线光学性质的实际应用

五、教学过程：

一、引入

大家去电影院观影时，会看到屏幕与片门之间有彩色的光束，巨大的光源难道就藏在上方那个小小的洞口之中？

事实并非如此。请看图片中这种传统的灯箱式电影放映机，光线确实就从放映机射出。但是这种电影放映机，体积大，光效低，投影距离短，成影面积小，成影像素低。随着放映技术的发展，为了增加光源的亮度，提高光效，电影放映机使用氙气灯作为光源。而几千瓦的氙气灯所发出的高能量经过聚焦器聚焦，必然会产生很大的热量，如不迅速散热，会使工作芯片的温度急剧升高，芯片的寿命将会随工作温度的升高而缩短。其余元件同样会收到温度升高的影响。而且使用中如果氙气灯爆裂，也会留下难于清除的残骸。

如此多的弊端，在我们现代的放映技术中，已经得到改善。如图，现代的电影放映机中，光源和电源是分开放置的。在屏幕端放置光源，经反光镜反射后汇聚到片门处，使片门处得到最强光效，然后投射到放映物镜上，经二次反射后投射到电

影屏幕。为了防止胶片过热而损坏或变形，在片门前设置遮光镜，在胶片表面镀膜，使可见光反射，红外线透过。这些都很好的改善了传统放映机的弊端。

【问题1】：那什么形状的反光镜可以达到这样的效果呢？可以使氙气灯发出的光线经反射后汇聚于片门处呢？根据椭圆的光学性质是，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。反光镜的形状就是旋转椭圆面。我们今天的课题就是圆锥曲线的光学性质及其应用。

二、证明

对这样的实际应用而言，数学上对圆锥光学性质的研究，功不可没。以椭圆为例，我们从数学的角度来验证它。

【问题2】:我们能否将椭圆的光学性质的证明可改述为数学语言呢？我想其中的关键是“反射”这个过程如何从数学的角度体现？在物理中我们知道，反射时入射角等于反射角，这就需要作出法线。在曲线上的反射，“法线”如何作出？在某一点处，作出切线，代替这一点处的反射界面，作出切线的垂线，就是法线。

这就是我们数学中以直代曲的数学思想。因此我们可以这样来表述椭圆的光学性质。

如图2，已知一椭圆的焦点为F1,F2，过椭圆上一点A作A作ACTT切线TT12，则：F1ACF2AC，即12，过F1AT1F2AT2。

从古至今，椭圆的光学性质的证明方法很多，我们可以通过网络去了解一下，有些方法在我们现有知识的基础上还不能完成，这需要大家通过不断的学习来丰富自己，而有些方法，我们应该可以尝试一下。

来看一个大家比较熟悉的问题：

【算一算】例：如图3，已知圆C：(x3)y100，及圆内一点P(3,0)，P1为圆上22M，求动点M的轨动点，线段PP1的中垂线交线段CP1于点迹方程。

解：QMCMPMCMP110

点M在以C、P为焦点的椭圆上

x2y21

轨迹方程为2516【看一看】这个题目告诉我们一种非常有趣的得到椭圆的方式，我们用实验的方法来重复刚P重合，展才的过程。我们准备一个圆形纸片，在圆上取出点P1，将纸片折叠使点P1和点开后画出折痕，折痕和线段PP1是什么关系呢？折痕就是线段的中垂线。

依次在圆上取出P2,P3,L,Pi,L，将折痕与CPi的连线记为Mi，想象如果Pi取遍圆上所有的点，得到动点Mi的轨迹是什么？

【想一想】这个图形中就蕴含着椭圆光学性质的证明，为此我们只需要说明两点：

1.将直线l1作为反射界面，入射角等于反射角。

2.直线l1是椭圆的切线。

第一点已经成立，为了能证明第二点，只需说明直线与椭圆有且只有一个公共点，我们M'必在椭圆外。因在直线上另取一点M'，M'CM'PM'CM'P1CP1，则此，直线l是椭圆的切线。

现证明如下：延长F1A至点B，使ABAF2，过A点作F2B的垂线TT12，则F1AT1BAT2F2AT2

A'，则FA'在椭圆若在直线TT12上另取一点1A'F2A'F1A'A'BF1B2a，则外，所以TT12是椭圆的切线。

从而从椭圆一个焦点发出的光线，经切线反射后，反射光线交于另一个焦点。也就是经过椭圆反射后，反射光线交于另一个焦点。

我们再来看另外两种圆锥曲线的光学性质及其证明，其中涉及到一些课外的知识，我们时间有限，只能先跟大家展示一下。

抛物线的焦点发出的光线经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴。

已知：抛物线y2px(p0)，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴。

证明：设M(x0,y0)，过点M的抛物线的切线为l，入射光线经抛物线壁反射后反射光线为MN，由y2px得222yy'2p，即直线l的斜率为kp

y0设直线l到FM的角为1，直线MN到直线l的角为2，则

kkMNkFMk

1kFMk1kkMN

ppkMNxy20亦即，解得kMN0

y0pp1kMN1py0y0x2从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线是散开的，其反向延长线交于另一个焦点。

y0py0x2y2求证：双曲线221(a0,b0)上的点M(x0,y0)处的切线是F2MF1的平分线。

ab证明：MT是M处的切线，MN是M处的法线，N,T在x轴上，显然T在F1与F2之间。

b2x0a2MT的方程为yy02(xx0)，令y0得T(,0)

ay0x0a2acca()TF1xx0aexa于是

020caaTF2exa0a()ca0x0x0因为MF1MF2TF1MF1ex0a，则，所以直线MT是F1MF2的平分线，

ex0aTF2MF2因此法线MN是外角F2MF1的平分线。

三、特征比较

了解完证明过程，我们来画一画光线反射的示意图，看看光线反射的实际效果。

旋转抛物面一般被制作成凹面镜，平行光束可以汇聚一点，汇聚后光线具有什么特点呢？光线强，反之，一个点射出的光线可反射后成为平行光束，平行光束又有什么特点呢？照的远。旋转椭圆面一般也被制作成凹面镜，光线可以汇聚成一点，在达到最强光效同时，可以改变光源的位置。旋转双曲面既可做成凹面镜又可做成凸面镜。

平行：远

汇聚：强

汇聚：强

发散：广、弱

汇聚：广、强

四、实际应用举例

例：某天文仪厂设计制造的一种镜筒直径为0.6m，长为2m的反射式望远镜。其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示。其中，一个反射镜POQ1弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支。已知F1,F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位：mm），分别求抛物线和双曲线的方程。

要想解答这个问题，我们先来了解一下反射式天文望远镜。第一架反射式望远镜诞生于1668年，牛顿第一次使用反射镜代替折射镜，由于光线不需要通过材料本身，降低了对玻璃材料的光学性能的要求。这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚。反射式望远镜有牛顿系统、卡塞格林系统、格雷戈里等不同系统，镜面形状不同。这种综合应用抛物线和双曲线的光学性质，制造出的反射式望远镜应用的是经典卡塞格林系统。

主镜是抛物面，平行光束反射后汇聚于焦点方向，副镜是双曲面的凸面镜，与抛物线的焦点重合，置于焦点与主镜之间。经双曲面反射后汇聚于双曲线的另一个焦点，主镜中心留有小孔，目镜就在双曲线的另一个焦点处。

ca2080解：对于双曲线

ca529a775.5,c1304.5b1100320

x2y2双曲线的方程为1(x775.5)

601400.31100320Q抛物线的顶点的横坐标是

(1763a)(1763775.5)987.5p1304.5(987.5)2292

22p229249168焦点到顶点的距离抛物线的方程为y29168(x987.5)

1. 抛物线光学性质的应用

汽车远光灯太阳灶太阳灶采集奥运圣火雷达天线我们熟悉的、不熟悉的很多物品都用到了圆锥曲线的光学性质。

抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择. 太阳灶：光和热一样经抛物面反射汇聚于一点，这一点处的温度就会很高，可以利用.探照灯、汽车远光灯：在抛物面反射器焦点上的一个小灯光，射到抛物面的光线所产生的亮度是没有抛物面反射器的光线亮度的6000倍左右. 世界最大的单口径球面射电望远镜，又被形象的称作中国"天眼"。射电望远镜：射电望远镜的天线大多是抛物面. 是观测和研究来自太阳及其它天体的无线电波（射电波）的基本设备. 卫星接收器等都是依据同一原理设计的.

2. 椭圆光学性质的应用

医学上：激光消痣与体外碎石技术. 医学上用来对付肾结石，让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置，在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中在石头上，将其击碎，实现碎石.

3. 双曲线光学性质的应用

我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”，就是利用了双曲线的光学性质。原来使用的新闻灯个头比较大，外号叫大头灯，这种灯要在很近的距离才能照清楚，而且光很刺眼。而我国研制的“双曲线电瓶新闻灯”个头小，却可以照很远，光线又柔和。1972年美国总统访问我国时，我国记者首次使用了这种灯，效果很好。

五、课堂小结

我们这节课已接近尾声，同学们在这节课中，有些什么感受？

有没有信心将圆锥曲线的光学性质进行组合，尝试设计一些作品？

圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含的是数学关系，我们要善于观察，勤于钻研，及时总结，就能闪现更多的灵感，将更多的数学知识应用于实际。

六、教学反思

本课内容定位准确，教学目标具体明确，教学过程深入浅出，在师生互动中实现了所设定的目标，较好的完成了数学的阅读与思考拓展课。在师生对话中，捕捉学生处于零散、感性的思为过程，通过有效的数列，准确转化为系统的、理性的信息或结论，从而达到开启学生的智慧之窗，起到四两拨千斤的效果。