1.2.2 充要条件第一课时教学设计

1.2.2

充要条件

明目标、知重点

1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．

充要条件：

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与

q互为充要条件．

探究点一

充要条件的判断

思考1

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数．

请判断：

p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

答

p是q的充分条件，p是q的必要条件．

小结

p⇒q，故p是q的充分条件；

又q⇒p，故p是q的必要条件．

此时，我们说，p是q的充分必要条件

思考2

说说你对充要条件的理解．

答

我们可以从以下三个方面理解充要条件：

(1)若p⇔q，则p、q互为充要条件；

(2)p是q的充要条件意味着“p成立，则q必成立，p不成立，则q必不成立．”

(3)“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”“q当且仅当p”等．

例1

下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；

(4)p：x>5，q：x>10；

(5)p：a>b，q：a2>b2. 分析

要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p.

解

命题(1)和(3)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；

命题(2)中，p⇒q，但qD/⇒p，故p不是q的充要条件；

命题(4)中，pD/⇒q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；

命题(5)中，pD/⇒q，且qD/⇒p，故p不是q的充要条件．

反思与感悟

判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．

跟踪训练1

(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

) A．ab＝0

C．a2＋b2＝0

答案

D 解析

a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. (2)x>2的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是________________．

答案

x>0

x>0且y>0(答案不惟一) (3)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是____________________________．

答案

a<－1 解析

函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．

探究点二

有关充要条件的证明或求解

思考

如何证明充要条件？

答

分清充分性和必要性．

例2

已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析

设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p⇒q)和必要性(q⇒p)即可．

证明

B．ab>0 D．a2＋b2>0

如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d. (1)充分性(p⇒q)：若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r.所以，除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.因此，直线l与⊙O相切．

(2)必要性(q⇒p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d＝OP＝r.

反思与感悟

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 跟踪训练2

求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

解

①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；

②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；

若方程有两个负的实根，

则必须满足1－<0，aΔ＝1－4a≥01>0，a

1⇒0

41因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. 4

1．“x2>2 013”是“x2>2 012”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

由于“x2>2 013”时，一定有“x2>2 012”，反之不成立，所以“x2>2 013”是“x2>2 012”的充分不必要条件．

2．设{an}是等比数列，则“a1

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

C 解析

{an}为等比数列，an＝a1·qn1，由a10，q>1或a1<0,0

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

则数列{an}为递增数列．反之也成立．

3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A．m＝－2

B．m＝2

C．m＝－1

D．m＝1 答案

A 解析

当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)

＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－

B．x＝－1

C．x＝5

D．x＝0 2答案

D 解析

根据平面向量数量积的坐标运算及垂直的条件求解．

∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，

∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x. 又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0. 5．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________. 答案

－1 解析

由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，

而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. [呈重点、现规律]

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

一、基础过关

1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0. 13．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(

) 2A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

解不等式后直接判断．

1，

x>或x<－1不等式2x＋x－1>0的解集为x22B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1故由x>⇒2x2＋x－1>0，

21但2x2＋x－1>0D⇒/x>，故选A. 24．平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案

D 解析

当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．

5．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

C 解析

由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，

则有cos〈a，b〉＝±1. 即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与

b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|. →→6．在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“AB·AC<0”的________条件．

答案

必要不充分

→→解析

当△ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个都有可能是钝角，不一定有AB·AC→→<0；但当AB·AC<0时，A为钝角，△ABC一定是钝角三角形．

7．已知p：ab≠0，a＋b＝1；q：ab≠0，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 求证：p是q的充要条件．

证明

①先证充分性成立．

∵ab≠0，a＋b＝1，

∴b＝1－a. ∴a3＋b3＋ab－a2－b2

＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2

＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2

＝0. ②再证必要性成立．

∵ab≠0，

∴a≠0且b≠0. ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0. ∴(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0. ∵a2－ab＋b2≠0，

∴a＋b＝1. 由①②知，p是q的充要条件．

二、能力提升

8．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

C 解析

A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，

C＝{x∈R|x<0或x>2}，

∵A∪B＝C，

∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．

9．下列不等式：①x<1；②0

答案

②③④

解析

由于x2<1即－1

10．给出下列命题：

①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；

②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；

33③命题“若a>b>0，则a>b>0”的逆否命题；

④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

答案

①②③

解析

①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；

②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；

33③因为命题“若a>b>0，则a>b>0”是真命题，故其逆否命题为真；

④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，假命题，

m>0，因为得m∈∅. 2[2m＋1]－4mm－3<0，

所以应填①②③. 111．已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的2取值范围是________．

1答案

[0，] 2解析

(x－a)(x－a－1)>0得x>a＋1或x

所以綈q：a≤x≤a＋1，

而p是綈q的充分不必要条件，

11a≤2，a<2，1所以有

或，得0≤a≤. 2a＋1>1，a＋1≥1，12．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明

充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，

c则x1x2＝<0，∴方程的两根异号．

a即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，

c则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，

a综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 三、探究与拓展

13．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明

充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，

|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．

当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．

又当x>0，y>0时，

|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．

当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，

|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．

总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．

必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，

∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要条件．