复习参考题优秀公开课教案

2016年河南省焦作市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，则A∩B=（

）

A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}

C．{2，3}

D．{1，4}

2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（

）

A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i 3．下列命题：

（1）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么它也与另一个平面平行；

（2）若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；

（3）过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面只有一个；

（4）若平面α⊥平面β，α∩β=b，直线a⊄α，α⊥β，则a∥α．

其中正确的有（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．4 4．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为

（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1r2表示变量V与U之间的线性相关系数，

表示变量Y与X之间的线性相关系数，则（

）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1

C．r2＜0＜r1

D．r2=r1

5．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（

）

A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 6．已知函数f（x）=sin（ωx+A．关于直线x=C．关于点（对称

）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（

）对称

，0）对称

B．关于直线x=，0）对称 D．关于点（7．命题“存在x∈[0，2]，x2﹣x﹣a≤0为真命题”的一个充分不必要条件是（

）

A．a≤0 B．a≥﹣1 C．a≥﹣

D．a≥3 8．如图，给出了一个算法框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x的值有（

）

第1页（共21页）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9．已知双曲线﹣=1的一个焦点为F（2，0），且双曲线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（

）

A．

B．2 C．3 D．4 10．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是（

）

A．C．（﹣2，﹣1）

B．（﹣1，0）

（0，1）

D．（1，2）

11．若x，y满足x2﹣2xy+3y2=4，则最大值与最小值的和是（

）

A．

B．1 C．

D．

12．若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姊妹点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”．已知函数f（x）=，若f（x）的“姊妹点对”有两个，则b的范围为（

）

A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b＜1 C．﹣1≤b≤1 D．﹣1＜b＜1

二、填空题：本大题共4小题。每小题5分,共20分。

13．在△ABC中，

=（2，2），=（1，k），若∠B=90°，则k值为

．

14．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是

．

15．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为

．

第2页（共21页）

16．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：

①f（0）f（1）＜0；

②f（0）f（1）＞0；

③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0；

⑤f（1）f（3）＞0；

⑥f（1）f（3）＜0．

其中正确的结论的序号是

．

三、解答题（解答写出文字说明、证明或验算步骤）

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，Sn=2an+k，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=n2．

（1）求k和Sn；

（2）若cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Mn．

18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]

（1）求频率分布图中a的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．

19．如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且M为AE的中点，CE=CA=2BD．

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（1）求证：DM∥平面ABC；

（2）求证：平面DEA⊥平面ECA；

（3）求点E到平面ACD的距离．

20．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线y2=4x的准线上，且椭圆C过点P（1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过点F，且与椭圆C相交于A，B不同两点，M为椭圆C上的另一个焦点，求△MAB面积的最大值．

21．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）

（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）单调增区间．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．选修4﹣1：几何证明选讲

如图，A、B、C是圆O上三点，AD是∠BAC的角平分线，交圆O于D，过B作圆O的切线交AD的

延长线于E．

（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD；

（Ⅱ）求证：AB•DE=CD•BE．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

第4页（共21页）

23．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣=2），圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求直线l与圆C的交点的极坐标；

（2）若P为圆C上的动点，求P到直线l的距离d的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．（选修4﹣5：不等式选讲）

已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．

（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（Ⅱ）设a＞﹣1，且当

时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

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2016年河南省焦作市高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，则A∩B=（

）

A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}

C．{2，3}

D．{1，4}

【考点】交集及其运算．

【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，

∴A∩B={1，2，3}，

故选：B．

2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（

）

A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的对称关系，求出复数z2，然后求解z1z2即可．

【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，

所以z2=1﹣i，

∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．

故选：A．

3．下列命题：

（1）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么它也与另一个平面平行；

（2）若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；

（3）过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面只有一个；

（4）若平面α⊥平面β，α∩β=b，直线a⊄α，α⊥β，则a∥α．

其中正确的有（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】利用平面与平面平行、垂直的判定与性质，即可得出结论．

【解答】解：（1）当一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是一定不能相交，是平行或这条直线在这个平面内，故不正确；

（2）若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，可能平行，也可能相交，不正确；

（3）当平面α外一点和平面α内一点连线不垂直于平面时，此时过此连线存在唯一一个与平面α垂直的平面；当平面α外一点和平面α内一点连线垂直于平面时，则根据面面垂直的判定定理，可作无数个与平面α垂直的平面，故不正确；

（4）∵平面α⊥平面β，直线a⊥β，∴平面α内存在直线a′与直线a平行，∵a⊄α，a′⊂α，且a∥a′，∴a∥平面α，正确．

故选：A．

第6页（共21页）

4．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为

（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1r2表示变量V与U之间的线性相关系数，

表示变量Y与X之间的线性相关系数，则（

）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1

C．r2＜0＜r1

D．r2=r1

【考点】相关系数．

【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．

【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），

（11.8，3），（12.5，4），（13，5），

=11.72

∴这组数据的相关系数是r=，

变量U与V相对应的一组数据为

（10，5），（11.3，4），

（11.8，3），（12.5，2），（13，1）

，

∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，

∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，

故选C．

5．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（

）

A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．

【分析】根据条件求出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小．

【解答】解：解：∵当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，

∴当1＜x1＜x2时，f （x2）﹣f （x1）＞0，

即f （x2）＞f （x1），

∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，

∵f（1+x）=f（1﹣x），

∴函数f（x）关于x=1对称，

∴a=f（﹣）=f（），

又函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，

∴f（2）＜f（）＜f（3），

即f（2）＜f（﹣）=＜f（3），

∴a，b，c的大小关系为b＜a＜c．

第7页（共21页）

故选：A．

6．已知函数f（x）=sin（ωx+A．关于直线x=C．关于点（对称

）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（

）对称

，0）对称

B．关于直线x=，0）对称 D．关于点（【考点】正弦函数的图象．

【分析】由函数的周期求得ω的值，可得函数的解析式，再根据当x=取得最大值，可得函数f（x）的图象关于直线x=【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+求得ω=2，f（x）=sin（2x+由于当x=）．

对称，

对称．

=π，

时，函数f（x））（ω＞0）的最小正周期为π，可得时，函数f（x）取得最大值为1，故函数f（x）的图象关于直线x=故选：B．

7．命题“存在x∈[0，2]，x2﹣x﹣a≤0为真命题”的一个充分不必要条件是（

）

A．a≤0 B．a≥﹣1 C．a≥﹣

D．a≥3 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】存在x∈[0，2]，x2﹣x﹣a≤0为真命题，可得a≥（x2﹣x）min，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出．

2]，x2﹣x﹣a≤0为真命题，【解答】解：存在x∈[0，∴a≥（x2﹣x）min==﹣，

因此上述命题的一个充分不必要条件是a≥3．

故选：D．

8．如图，给出了一个算法框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x的值有（

）

第8页（共21页）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【考点】程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值并输出，解方程组即可得解．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．

依题意得，或，或，

解得x=0，或x=1，即这样的x的值有2个．

故选：B．

9．已知双曲线﹣=1的一个焦点为F（2，0），且双曲线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（

）

A．

B．2 C．3 D．4 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据双曲线的焦点坐标，求出c，根据圆与双曲线相切求出c﹣a=1，利用双曲线的离心率的定义进行求解即可

【解答】解：∵双曲线﹣=1的一个焦点为F（2，0），

第9页（共21页）

∴c=2，

∵双曲线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，

∴圆心为F（2，0），半径R=1，

则c﹣a=1，即a=1，

则双曲线的离心率e==2，

故选：A．

10．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是（

）

A．C．（﹣2，﹣1）

B．（﹣1，0）

（0，1）

D．（1，2）

【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．

【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．

【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，

∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，

∵函数f（x）=ax+x﹣b，

∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，

∵f（0）=1﹣log32＞0 f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，

∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），

故选：B．

11．若x，y满足x2﹣2xy+3y2=4，则最大值与最小值的和是（

）

A．

B．1 C．

D．

【考点】基本不等式．

【分析】设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0），α∈[0，2π）．代入x2﹣2xy+3y2=4，可得==（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=（2﹣cos2α﹣sin2α），再利用和差公式、三角函数的单调性值域即可得出．

【解答】解：设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0），α∈[0，2π）．

∵x2﹣2xy+3y2=4，

∴r2cos2α﹣2rcosαrsinα+3r2sin2α=4，

∴r2（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=4，

∴==（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=（1+2sin2α﹣sin2α）=（2﹣cos2α﹣sin2α）∈，

第10页（共21页）

∴最大值与最小值的和=+=1．

故选：B．

12．若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姊妹点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”．已知函数f（x）=，若f（x）的“姊妹点对”有两个，则b的范围为（

）

A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b＜1 C．﹣1≤b≤1 【考点】函数的图象．

D．﹣1＜b＜1 【分析】根据题意：要有两个“姊妹点对”，只要函数y=x2+2x，x＜0的图象关于原点对称的图象与函数y=|x﹣1|+b，x≥0的图象有两个交点，即可．

【解答】解：函数y=x2+2x，x＜0的图象关于原点对称的函数为y=x2+2x，

分别画出y=|x﹣1|+b与y=﹣x2+2x的图象，如图所示：

若f（x）的“姊妹点对”有两个，

则y=|x﹣1|+b与y=﹣x2+2x的图象由两个交点，

由图象可知，﹣1＜b＜1，

故选：D．

二、填空题：本大题共4小题。每小题5分,共20分。

13．在△ABC中，

=（2，2），=（1，k），若∠B=90°，则k值为

3

．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由向量的垂直可得数量积为0，可得k的方程，解方程可得．

【解答】解：∵=（2，2），=（1，k），

∴=﹣=（﹣1，k﹣2），

∵∠B=90°，

=0，

∴即﹣2+2（k﹣2）=0，

解得k=3，

故答案为：3．

第11页（共21页）

14．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是

．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．

【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），

由余弦定理得cosC===

=≥=，

当且仅当故故答案为：

时，取等号，

≤cosC＜1，故cosC的最小值是．

．

15．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为

．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截取一个三棱锥剩下的一个几何体．利用体积计算公式即可得出．

【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截取一个三棱锥剩下的一个几何体．∴该几何体的体积V=故答案为：．

3﹣=．

16．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：

第12页（共21页）

①f（0）f（1）＜0；

②f（0）f（1）＞0；

③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0；

⑤f（1）f（3）＞0；

⑥f（1）f（3）＜0．

其中正确的结论的序号是

①③⑥

．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．

【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

∴当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f′（x）＞0 ∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3），

∴f（x）极大值=f（1）=1﹣6+9﹣abc=4﹣abc，

f（x）极小值=f（3）=27﹣54+27﹣abc=﹣abc 要使f（x）=0有三个解a、b、c，只需a＜1＜b＜3＜c，

及函数有个零点x=b在1～3之间，

所以f（1）=4﹣abc＞0，且f（3）=﹣abc＜0，

所以0＜abc＜4 ∵f（0）=﹣abc，∴f（0）＜0，

∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0，f（1）f（3）＜0．

故其中正确结论是：①③⑥；

故答案为：①③⑥．

三、解答题（解答写出文字说明、证明或验算步骤）

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，Sn=2an+k，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=n2．

（1）求k和Sn；

（2）若cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Mn．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）令n=1，得a1=﹣k=2，即k=﹣2，再由an=Sn﹣Sn﹣1即可数列{an}的通项公式，再根据等比数列的求和公式求和即可，

（2）由bn=Tn﹣Tn﹣1，求出}，{bn}的通项公式，根据{Cn}的通项公式可知利用由错位相减法能够求出数列{Cn}的前n项和Mn．

【解答】解：（1）令n=1，得a1=﹣k=2，即k=﹣2，

∴Sn=2an﹣2，

当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

∴an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，

∴an=2an﹣1，

∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以{an}=2n，

∴Sn=2n+1﹣2 （2）∵等差数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=n2．

Tn﹣1=（n﹣1）2．

∴bn=Tn﹣Tn﹣1=2n﹣1，

第13页（共21页）

∴cn=an•bn=（2n﹣1）2n，

∴数列{cn}的前n项和：

Mn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，①

2Mn=1×22+3×23+5×24…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，②

①﹣②，得﹣Mn=2+2×22+2×23+2×24+…+2×2n﹣（2n﹣1）×2n+1=2+2×﹣（2m﹣1）×2n+1

即Mn=6+（2n﹣3）×2n+1．

18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]

（1）求频率分布图中a的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．

【考点】频率分布直方图．

【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；

（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；

（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．

【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；

（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；

受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，

分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，

又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，

故所求的概率为P=

．

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19．如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且M为AE的中点，CE=CA=2BD．

（1）求证：DM∥平面ABC；

（2）求证：平面DEA⊥平面ECA；

（3）求点E到平面ACD的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明DM∥平面ABC；

（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面DEA⊥平面ECA；

（3）利用体积法建立方程即可求点E到平面ACD的距离

【解答】证明：（1）过点M在△ABC中作MN∥CE，交AC于N，连接BN，

∵CE⊥平面ABC，DB⊥平面ABC ∴CE∥DB 又∵CE=2BD=2，M为AE的中点

∴NM∥CE，NM=CE ∴NM∥BD，NM=BD，

∴四边形DMNB是平行四边形

∴DM∥BN 又∵BN平面⊂ABC，DM⊄平面ABC ∴DM∥平面ABC…．

（2）∵CE⊥平面ABC

BN⊂平面ABC∴CE⊥BN

即BN⊥CE 又∵△ABC是边长为2的等边三角形且N为AC中点∴BN⊥AC 又∵AC∩CE=C

AC，CE⊂平面ACE∴BN⊥平面ACE 由第（1）问知：BN∥DM ∴DM⊥平面ACE

又∵DM⊂平面DEA ∴平面DEA⊥平面AEC

…．

（3）∵CE⊥平面ABC，AC⊂平面AB∴CE⊥AC 又∵CE=AC=2，∴

由第（1）、（2）问知：DM⊥平面ABC；DM=BN=又∵DB⊥平面ABC，AB⊂平面ABC∴DB⊥AB =

即在Rt△DBC中，CD=

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∴在△ADC中，AD=CD=∴，AC=2

…

设点E到平面ACD的距离为h，

则

即点E到平面ACD的距离为，即

2﹣=2﹣h，∴h=

…..

20．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线y2=4x的准线上，且椭圆C过点P（1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过点F，且与椭圆C相交于A，B不同两点，M为椭圆C上的另一个焦点，求△MAB面积的最大值．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）根据条件可得出F（﹣1，0），并设椭圆方程为（a＞b＞0），从而有，解出a，b，从而得出椭圆方程为；

（2）根据条件设直线l的方程为x=my﹣1，并设A（x1，y1），B（x2，y2），l方程联立椭圆方程并消去x便可得到（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，根据韦达定理即可求出，而可得出△MAB面积s=|y1﹣y2|，带入并变形得到s=，根据函数的单调性即可求出s的最大值．

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【解答】解：（1）抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，由题意知F（﹣1，0）；

设椭圆C的方程为（a＞b＞0）；

则由题意得，解得；

故椭圆C的方程为；

（2）由（1）知F（﹣1，0），M（1，0）；

设A（x1，y1），B（x2，y2），设过点F的直线方程为x=my﹣1，联立椭圆方程消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0；

∴，；

∴=；

∴△MAB的面积=|y1﹣y2|

=

=

=

=∵m2+1≥1，而函数∴∴；

；

在区间[1，+∞）上单调递增；

，m=0时取“=”；

∴当m=0时，△MAB的面积取得最大值3．

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21．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）

（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）单调增区间．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求出函数的导数，求出导函数值，得到切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．

（2）求出f′（x）＞0的解集，即可得到函数f（x）的单调增区间．

【解答】解：（1）因为函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1），

所以f′（x）=axlna+2x﹣lna，f′（x）=0，

又因为f（0）=1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．

（2）由（1），f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．

因为当a＞0，a≠1时，总有f′（x）在R上是增函数，

又f′（x）=0，所以不等式f′（x）＞0的解集为：（0，+∞），

故函数f（x）的单调增区间为：（0，+∞）．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．选修4﹣1：几何证明选讲

如图，A、B、C是圆O上三点，AD是∠BAC的角平分线，交圆O于D，过B作圆O的切线交AD的

延长线于E．

（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD；

（Ⅱ）求证：AB•DE=CD•BE．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（I）根据弦切角定理，证出∠EBD=∠BAD．由AD是∠BAC的角平分线证出弧BD=弧CD，从而可得∠BAD=∠CBD，即可得到∠EBD=∠CBD；

（II）根据∠BEA=∠DEB且∠EBD=∠EAD，证出△ABE∽△BDE，可得AB•DE=BD•BE．再根据（I）的结论得到BD=CD，代入前面的等式即可AB•DE=CD•BE．

【解答】证明：（I）∵BE切圆O于点B，∴∠EBD=∠BAD．

又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，可得弧BD=弧CD，

∴∠CBD对弧BD，∠BAD对弧CD，∴∠BAD=∠CBD，

因此，可得∠EBD=∠CBD；

（II）∵∠BEA=∠DEB，∠EBD=∠EAD，

∴△ABE∽△BDE，可得，即AB•DE=BD•BE．

∵由（I）的证明得弧BD=弧CD，可得BD=CD，

∴AB•DE=CD•BE．

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[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣=2），圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求直线l与圆C的交点的极坐标；

（2）若P为圆C上的动点，求P到直线l的距离d的最大值．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】（I）利用把极坐标方程化为直角坐标方程，联立直角坐标方程解出即可得出．

（II）方法一：设P（2cosθ，2+2sinθ），利用点到直线的距离公式可得d==，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

方法2：求出圆心C（0，2）到直线l的距离d，即可得出圆上的点到直线的距离的最大值为d+r．

【解答】解：（Ⅰ）由直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣展开可得：（ρsinθ﹣ρcosθ）=2，化为：y﹣x=4．

（θ为参数），化为x2+（y﹣2）2=4．

）=2，

圆C的参数方程为联立方程组，解得，或，

对应的极坐标分别为（2，），（4，）．

（Ⅱ）方法一：设P（2cosθ，2+2sinθ），

则d=当cos（θ+=）=1时，d取得最大值2+，

=，圆的半径为2，

，

方法2：圆心C（0，2）到直线l的距离d=所以到直线l的距离d的最大值为2+．

[选修4-5：不等式选讲]

24．（选修4﹣5：不等式选讲）

已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．

（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．

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【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．

（Ⅱ）不等式化即

1+a≤x+3，故

x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则

y=，它的图象如图所示：

结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．

（Ⅱ）设a＞﹣1，且当﹣2对都成立．

时，f（x）=1+a，不等式化为

1+a≤x+3，故

x≥a故﹣≥a﹣2，解得

a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．

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2016年8月1日

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