习题2.1教学设计

直线与圆锥曲线的位置关系

一．课标要求：

1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；

2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。

二．命题走向

近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。

预测07年高考：

1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；

2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。

三．要点精讲

1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

2．直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。

直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。

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直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，

且由F(x,y)02，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b

－4ac。

ykxn则弦长公式为：

(1k2)(1k2)ΔΔ。

d=(x1x2)(y1y2)=(1k)(x1x2)==|a|a22222焦点弦长：|PF|e（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应d于焦点F的准线的距离，e是离心率）。

四．典例解析

题型1：直线与椭圆的位置关系

x2y21，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两例1．已知椭圆：69点，求弦AB的长。

解析：a=3,b=1,c=22，则F（-22，0）。

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x2y21联立消去y得：由题意知：l:y(x22)与9314x2122x150。

设A（x1,y1)、B（x2,y2)，则x1,x2是上面方程的二实根，由违达定理，x1x232，x1x2的点，

xx23215，xM1又因为A、B、F都是直线l上422所以|AB|=1|x1x2|1323(x1x2)24x1x22318152

点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。

例2．中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线y3x2所得弦的中点横坐标为1，求椭圆的方程。

2x2y2解析：设椭圆的标准方程为221(ab0)，由F1（0，50）得aba2b250

把直线方程y3x2代入椭圆方程整理得：(a29b2)x212b2xb2(4a2)0。

设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则由根与系数的关系得：

x1x2112b26b21x1x22，又AB的中点横坐标为，

22a29b22a9b2a23b2，与方程a2b250联立可解出a275,b225

x2y21。

故所求椭圆的方程为：7525点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理第

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ab50，及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，50）知，c=50，最后解关于a、b的方程组即可。

例3．（辽宁卷）直线y2k与曲线9kxy18kx

(kR,且k0)的公共点的个数为（

）

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4 解析：将y2k代入9kxy18kx得：9kx4k18kx。

222222222222229|x|218x40，显然该关于|x|的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。

点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。

五．思维总结

1．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习

由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设。而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考查；

2．关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法。利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法。有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；

3．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法；

4．当直线与圆锥曲线相交时

涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍；

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