1.2.1 充分条件与必要条件第二课时教学设计

§1.2.1 充分条件与必要条件

一、入门答辩1 古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．

设：

A：洛孝主动归还所拾银两．

B：洛孝无赖银之情．

C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．

D：洛孝所拾银子不是失主所丢．

问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？

问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？

二、新知自解1

充分条件和必要条件

如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的

条件，同时称q是p的

条件. 三、入门答辩2 已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．

q：前年是2012年．

问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？

问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？

问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？

四、新知自解2 (1)如果既有

，又有

，通常记作p⇔q，则称p是q的

，简称充要条件．

(2)p是q的充要条件也可以说成：

．

(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互

的命题．

(4)若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的

条件，q是p的

条件．

(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的

条件．

充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．

五、例题精讲

[例1]

下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝ac；

(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；

(3)p：a>b，q：2a>2b；

(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．

[一点通]

充分必要条件判断的常用方法：

(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．

(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．

(3)集合法：

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B. ①若AB，则p是q的充分不必要条件；

②若BA，则p是q的必要不充分条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件．

六、题组训练

x1．设集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“mx－3∈A”是“m∈B”的

(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

2．对任意实数a，b，c给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

④“a<5”是“a<3”的必要条件．

其中，真命题的序号是________．

3．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

1π(2)在△ABC中，p：sin A＞，q：A＞. 26

1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；

(1)若p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”及它的逆否命题都是真命题；

(2)若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；

(3)若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题．

2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．