1.4.3 含有一个量词的命题的否定名师教学视频（文字实录）

一、课 题

全称量词与存在量词以及含一个量词的命题的否定（人教A版数学新课标教材选修1-1，P21-25）

二、课型分析

本课属于数学规则课型

教材中关于本课的学习内容有三项：（1）全称量词、全称命题的概念；存在量词、特称命题的概念；（2）使用数学符号表示全称命题和特称命题；（3）正确写出含有一个量词的命题的否定。其中：第（1）项内容属于定义性概念学习，是学习第（2）及（3）项内容的前提和基础，只需达到理解水平即可。

本课的主要学习内容是第（2）及（3）项，特别是第（3）中写出全称命题与特称命题的否定时，与前面所学的写出一般命题的否定不同，它是有特别规律的，属于智慧技能中的规则学习，因而，本课属于数学规则课型，需达到掌握的水平。其中学习的过程可结合自主学习课型和数学规则课型的特点（如例规法）来设计。

三、教学目标

1、理解全称量词、全称命题的概念；存在量词、特称命题的概念；

2、能使用数学符号表示全称命题和特称命题及会判断其真假；

3、能正确写出含有一个量词的命题的否定及会判断其真假。

四、学习内容

（一）回忆原有知识

完成以下题目，有助学习本课的新内容

1，命题p：若x=2, 则x2<1, 其真假性是（

）

命题p的否命题是：

，其真假性是（

）

命题p的否（即￢P）是：

，其真假性是（

）

一般地，命题p与￢P的真假性

。

2、下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？

（注意（1）与（3），（2）与（4），（5）与（7），（6）与（8）之间的变化）

（1）x＞３；

（2）

2x＋１是整数；

（3）对所有的x∈Ｒ, x＞３；

（4）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数；

（5）2x+1=3；

（6）x能被2和3整除；

（7）存在一个x0R，使得2x013；

（8）至少有一个x0Z,x0能被2和3整除。

（二）学习新知识

请同学们自学教材第21页至25页的有关内容。如果您能正确解回答以下问题，则有助您理解以下的概念。

1．全称量词与全称命题

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做

，并用符号“”表示；

含有全称量词的命题，叫做

。

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），…表示，变量x的取值范围用M表示。

那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：

，

读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。

2．存在量词与特称命题

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中统称

，并用符号“”表示；

含有存在量词的命题，叫做

。

特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：

。

读作“存在一个x属于M, 使p（x）成立”．

3．全称命题与特称命题的否定

全称命题p：xM,p(x)，

它的否定p:

特称命题p：xM,p(x)，

它的否定p:

〖检测练习〗：

4，[课本P22例1]判断下列全称命题的真假：

1

（1）所有的素数都是奇数；

（2）xR,x211；

（3）对于每一个无理数x，x2也是无理数

5，[课本P23例2]判断下列特称命题的真假：

（1）有一个实数x0，使得x02x030；

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（3）有些整数只有两个正因数

6，[自编]判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定；并判断原命题及其否定的真假。

2①所有的矩形都是平行四边形；

②x∈R,

x－2x＋1≥0；

③有些实数的绝对值是正数；

④ x∈R,

x2＋1＜0。

（三）学习小结

请同学们回顾本课学习了哪些知识？

（全称命题、特称命题及其符号表示；

全称命题的否定是特称命题。

特称命题的否定是全称命题。）

（四）强化训练

1，[自编]判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出它们的否定，并判断他们的真假：

（１）

p：所有能被3整除的整数都是奇数；

（２）

p：任意两个等边三角形都是相似的；

（３）

p：有一个素数含三个正因数；

（４）

p：x0R,x02x020.；

22，[自编]下列命题：

①xRx2x；

②xRx2x；

③

若x0，则xx；

其中正确命题的个数是

（

）

B

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3，[2010湖南文数]下列命题中的假命题是（

）

C

．．．

3xA. xR,lgx0

B. xR,tanx1

C.

xR,x0

D. xR,20

2224，[2010安徽文数]命题“存在xR，使得x2x50”的否定是

,x2x5

0

xR25，[2009深圳一模]已知命题p:xR，x2axa0．若命题p是假命题，

则实数a的取值范围是

．0a1

2

2

6，[2009东莞一模]下列命题中，真命题是

（

）

A

A．xR,sinxcosx1.5

B．x(0,),sinxcosx

C．xR,x2x1

D．x(0,)，ex1x

x7，[2009番禺一模]已知命题p:“x0,1,ae”，命题q:

“xR,x24xa0”，

若命题“pq” 是真命题，则实数a的取值范围是（

）.

A

A．[e,4]

B．[1,4]

C．(4,)

D．(,1]

8，[2009饶平]已知p:xR,x10，q:32，则下列判断错误的是：（

）

C

．．A. “pq”为真，“q”为假

B. “pq”为假，“p”为真

C. “pq”为假，“p”为假

D. “pq”为假，“pq”为真

（五）选做练习

1，[2011·安徽卷] 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(

)

D

．．A．所有不能被2整除的整数都是偶数；

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数；D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

2，[2012·安徽卷] 命题“存在实数x，使x>1”的否定是(

)

C

．．A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

3，[2011·辽宁卷] 已知命题p：∃n∈N, 2n＞1000，则

p 为(

)

A

A．∀n∈N, 2n≤1000

B．∀n∈N, 2n＞1000 C．∃n∈N, 2n≤1000

D．∃n∈N, 2n＜1000

24，[2009山东]已知命题p:xR,xx10;命题q:xR,sinxcosx2，

4则下列判断正确的是（

）

D

A．p是真命题

B.

q是假命题

C.

p是假命题

D. q是假命题

5，[自编]若命题p：x(0,2),2xm为假命题，则m的范围是

m4

26，[菁优网]已知：对xR,方程cosxsinx3a0有解，求a的取值范围．

22【解】：依题意有acosxsinx3sinxsinx2

2令tsin(x)[1,1]，f(t)tt2，f(t)maxf(1)4，f(t)minf()127

4∴7a4

4

227，[菁优网]若命题：“xR，关于x的不等式(a1)x(a1)x10都成立”为真命题，

求a的取值范围。

【解】：依题意有

a2101a11a1①

，即，即2，

2205a2a30(a1)4(a1)0

3

1a13得3

即a1

5a15

②a1时，不等式为10也成立

综上所述，a的取值范围是

8，[菁优网]命题p：xR，ax2ax10；

命题q：xR，xxa0；

如果命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

【解】：对于任意实数x都有恒成立，

a=0或关于x的方程；

有实数根，

23a1

5P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，即P真Q假，或P假Q真，

如果P真Q假，则有0≤a＜4且，∴；

如果P假Q真，则有，

所以实数a的取值范围为。

★编写思考和用后反思

本课的内容中的概念学生较易掌握，而较易出错的部分是写出含有一个量词的命题的否定，因为它容易与前面写出一般命题的否定混淆。因而，在小结中特别提到：全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。另外，为了让学生了解该部分内容在高考中的出题模式，特意选取了一些各地区的高考题及一模的题目。

由于本课的内容中的命题所涉及的内容可以是五个必修中的内容，如学生的基础不扎实，就容易做错，如在我班（文科基础班）使用该导学稿后，就出现这情况。因此，要对基础的部分进行反复训练。

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