3.1.1 变化率问题教案和学案内容

§1.1.1变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．

教学过程设计

（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】

：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。板书课题《变化率问题》

【教师过渡】

：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”

(二)、探究新知，揭示概念

实例1：气球的平均膨胀率问题。WWW.ziyuanku.com 中华资源库【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？

思考：

1、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。

学生讨论，小组交流，教师巡视。

学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。

【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。”

（1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

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（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

3、当空气容量从V1增到加V2时，气球的平均膨胀率是多少？

讨论得出： r(v2)r(v1)

v2v1实例2：高台跳水运动

【学生思考】：

在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)= -4.9t+6.5t+10。

1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？

2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。 3、当时间从t1到t2时，运动员的平均速度是多少？

（三）、分析归纳，抽象概括

【教学活动】：针对下面二个实例，教师引出问题：“我们通过分析表格，得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式，得到了运动员的平均速度”。（幻灯出示）

问题中，当体积从V1增加到V2时，

2

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气球的平均膨胀率=r(v2)r(v1)

v2v1中·华资源库 ziyuanku.co1、

实例二：在高台跳水问题中，当时间从t1到t2时，运动员的平均速度=

h(t2)h(t1) t2t1【学生思考】

：

1. 上述二个问题，有什么共同特征? 2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？

3. 下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算？

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：

1．上述问题中的变化率可用式子 化率

2．若设xx2x1, ff(x2)f(x1) (这里x看作是对于x1用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) 3．则平均变化率为

（四）、知识应用，深化理解

例1．已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),则2来源：ziyuanku.comf(x2)f(x1)表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变x2x1的一个“增量”可f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

x2x1xxxy ．

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解：2y(1x)2(1x)，

y(1x)2(1x)2∴3x

xx例2.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月,第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

W (千克) 中·华资源库 ziyuanku.com

11 8.6 6.5 3.5 o 形状是图中的( ) 3 6 12 T(月))

3、向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的

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654、观察图象，计算运动员在

0≤t≤

这段时间内的平均速度，思考： 49

(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？ (2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议或想法呢? 版权所有：中华资源库

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（五）、归纳小结、布置作业

教师提出问题：

（1）这节课你学到了什么？

（2）求函数“平均变化率”的步骤是什么？

（3）下课后你还想解决哪些问题? 布置作业：.课本P10，习题1.1A组1；

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