信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学教案设计

椭圆的简单几何性质教案

新人教A版选修1-1

教学目标：

(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质; (2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图

教学难点:椭圆离心率的概念的理解. 教学方法：讲授法

课型：新授课 教学工具：多媒体设备

一、复习：

1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距. 2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：

（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力. [在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.] x2y2已知椭圆的标准方程为：221(ab0)

ab1.范围

[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x，y的范围就知道了.] 问题1 方程中x、y的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式

y2x2≤1, 2≤1 2ab2222 即 x≤a, y≤b所以 |x|≤a， |y|≤b 即 －a≤x≤a, －b≤y≤b 这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。

1

2.对称性

复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；

点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；

问题2 在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什么发现? （1）

在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。

（2）

如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。] （3）

如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称。] 归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？

椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。

这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴] 椭圆的对称中心是什么？[原点] 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

3.顶点

[研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.] 问题3 怎样求曲线与x轴、y轴的交点? 在椭圆的标准方程里，

令x=0,得y=±b。这说明了B1(0,－b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。

令y=0,得x=±a。这说明了A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。

线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长) 观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长

2

半轴长，即

|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a 在Rt△OB2F2中，由勾股定理有

222222 |OF2|=|B2F2|－|OB2|

，即c＝a－b

222这就是在前面一节里，我们令a－c＝b的几何意义。

4.离心率

定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝c，叫做椭圆的离心率。

a 因为a>c>0,所以0

(2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。

当e＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生课后思考] 5.例题 22例1求椭圆16x+25y=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形. [根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长2b，该方程中的a＝？b＝？c＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质] x2y2解：把已知方程化为标准方程221, 这里a＝5，b＝4，所以c＝2516＝3 54因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8 离心率e＝c3＝

a5两个焦点分别是F1(－3,0),F2(3,0)，

四个顶点分别是A1(－5,0) A1(5,0) A1(0,－4) F1(0,4). [提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢？我们可以根据椭圆的对称性，先画出第一象限内的图形。] 将已知方程变形为 y425x2，根据

5y425x2

53 4 5 0 在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y) x y 0 4 1 2 3.9 3.7 3.2 2.4 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图）

说明：本题在画图时，利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性。

根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：

(1)

以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

3

(2)

由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

(3)

用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。

[画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性] （四）练习 22 填空：已知椭圆的方程是9x+25y=225, (1)

将其化为标准方程是_________________. (2)

a=___,b=___,c=___. (3)

椭圆位于直线________和________所围成的________区域里. 椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______. 例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 例3 点Mx,y与定点F4,0的距离和它到直线l:x425的距离之比是常数，求点54M的轨迹. （教师分析——示范书写）

例4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）

的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知ACF1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在椭圆的方程。

三、课堂练习：

①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

x2y2x2y2221 ⑵x9y36与1（学生口答，⑴9xy36与并说明原161261022因）

②求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴经过点P22,0,Q0,5

⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点P3,0

⑶焦距是8，离心率等于0.8

（学生演板，教师点评）



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四、小结

(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率; (2)了解离心率变化对椭圆形状的影响; (3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法. 五、布置作业

课本习题2.1 的6、7、8题

课后思考：

1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方？

2、点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：x= 的距离的比是常数

（a＞c＞0），求点M轨迹，并判断曲线的形状。

3、接本学案例3，问题2，若过焦点F2作直线与AB垂直且与该椭圆相交于M、N两点，当△F1MN的面积为70时，求该椭圆的方程。

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