1.1.1 命题第二课时 公开课

1.1 命题及其关系

1.1.1 命题

1.了解命题、真命题、假命题的概念.(重点) 2.理解命题的结构形式，并能把命题改写成“若p，则q”的形式.(重点) 3.会判断命题的真假性.(难点、易错点)

[基础·初探] 教材整理1 命题的概念

阅读教材P2～P3第3段第3行，完成下列问题. 1.命题的定义

在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 2.命题的分类

(1)真命题：判断为真的语句叫做真命题；

(2)假命题：判断为假的语句叫做假命题.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“指数函数的图象真漂亮”是命题.

(2)2>3.

(

) (

) (

) (

) (3)命题“实数的平方是非负数”是真命题. (4)“mx2＋2x－1＝0是一元二次方程”是真命题. 【解析】

(1)×.因为漂亮没有明确的标准，无法判断对错，故(1)错.

(2)×.是假命题.

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(3)√.

(4)×.m＝0时，2x－1＝0是一元一次方程，故(4)错.

【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

教材整理2 命题的结构

阅读教材P3第4段，完成下列问题. 命题的结构

1.结构形式：若p，则q. 2.命题的条件是：命题中的p；命题的结论是：命题中的q.

1.命题“当ac＞bc时，a＞b”的条件是________，结论是________. 【解析】

命题可改写成：若ac＞bc，则a＞b.

故命题的条件是ac＞bc，结论是a＞b.

【答案】

ac＞bc

a＞b

2.“一个素数的平方仍是素数”的条件是________，结论是________，是________(填“真”或“假”)命题. 【解析】

化为“若p，则q”形式为：如果一个数是素数，那么它的平方仍是素数.这是一个假命题.

【答案】

一个数是素数

这个数的平方是素数

假

[小组合作型]

命题的判断

判断下列语句是不是命题，若不是，请说明理由. (1)求证3是无理数；

(2)若x∈R，则x2＋4x＋4≥0；

(3)你是高一的学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；

(5)若xy是有理数，则x、y都是有理数；

(6)60x＋9＞4.

【导学号：97792000】

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【精彩点拨】

判断一个语句是否为命题，一般把握住两点：①看其是否为陈述句，②能否判断真假，两者同时成立才是命题.注意不要把假命题误认为不是命题.

【自主解答】

(1)是祈使句，不是命题.

(2)因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以可以判断其真假，是命题.

(3)是疑问句，不是命题.

(4)有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果，故可以判断真假，是命题.

(5)是命题，可以判断真假，如：3·(－3)是有理数，但3和－3都是无理数.

(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定.

判断一个语句是否为命题的程序框图

[再练一题] 1.判断下列语句是否为命题，并说明理由. ①x－2＞0；

②梯形是不是平面图形呢？

③若a与b是无理数，则ab是无理数；

④这盆花长得太好了！

⑤若x＜2，则x＜3. 【解】

①不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假.

②不是命题，疑问句不是命题.

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③是命题，因为此语句是陈述句且是假的.(反例a＝b＝2)

④不是命题，感叹句不是命题.

⑤是命题，因为此语句是陈述句且是真的.

判断下列命题的真假：

(1)若a＞b，则a2＞b2；

(2)x＝1是方程(x－2)(x－1)＝0的根；

(3)当x＝4时，2x＋1＜0；

(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相切. 【精彩点拨】

语句――→判断是否是命题――――→真假命题

定义命题证明举反例命题真假的判断

【自主解答】

(1)为假命题，如a＝1，b＝－2时，有a＞b，但a2＜b2.

(2)为真命题，由方程的根的定义，将x＝1代入方程，即可作出判断.

(3)为假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.

2(4)为假命题，圆心到直线的距离d＝2小于圆的半径1，直线与圆相交.

判断命题真假的两个技巧

1.真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学地推理论证得出要证的结论.

2.假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一个反例即可.

[再练一题] 2.下列命题中真命题的个数有(

) ①抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；②互相包含的两个集合相等；③空集是任何集合的真子集.

【导学号：97792001】

A.1个

C.3个

B.2个

D.4个

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【解析】

①中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；②是真命题的；③中空集不是本身的真子集.

【答案】

A [探究共研型]

命题的结构形式

探究1

指出下列命题中的条件p和结论q，你会发现，命题应该有哪两部分构成？

(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；

(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分. 【提示】

(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数.

(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分. 探究2

将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有a2＞b2”写成“若p，则q”的形式，它的条件和结论分别是什么？

【提示】

根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则a2＞b2.

其中条件p：a＞b，结论q：a2＞b2，为真命题.

指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假. (1)菱形的对角线相等且互相平分；

(2)相等的两个角是对顶角. 【精彩点拨】

分析命题―→写成“若p，则q”形式

―→p是条件，q是结论―→判断真假

【自主解答】

(1)命题“菱形的对角线相等且互相平分”，即“若一个四边形是菱形，则它的对角线相等且互相平分”.条件p：一个四边形是菱形，结论q：它的对角线相等且互相平分.此命题为假命题.

(2)命题“相等的两个角是对顶角”，即“若两个角相等，则这两个角是对顶角”.条件p：两个角相等，结论q：这两个角是对顶角.此命题为假命题.

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结5/7

论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一.

[再练一题] 3.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行；

(2)负数的立方是负数；

(3)对顶角相等. 【解】

(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.它是假命题.

(2)若一个数是负数，则这一个数的立方是负数.它是真命题.

(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等.它是真命题.

1.下列语句是命题的是(

) A.2 016是一个大数

B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点

C.对数函数是增函数吗

D.a≤15 【解析】

A中，大数没有具体标准，无法判断真假，故A错；

B中，由命题的定义知B对；

C是疑问句，故C错；

D中含字母，无法判断真假，故D错.

【答案】

B 2.下列命题中真命题的个数为(

) ①面积相等的三角形是全等三角形；

②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a＞b，则a＋c＞b＋c；

④矩形的对角线互相垂直. A.1 C.3 B.2 D.4 【解析】

①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正6/7

确；④中矩形的对角线相等不一定互相垂直.

【答案】

A 3.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是(

) A.若a∥b，则α∥β

B.若α⊥β，则a⊥b

C.若a，b相交，则α，β相交

D.若α，β相交，则a，b相交

【解析】

由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面.

【答案】

D 4.命题“6的倍数既能被2整除，又能被3整除”的结论是(

) A.这个数能被2整除

B.这个数能被3整除

C.这个数既能被2整除，也能被3整除

D.这个数是6的倍数

【解析】

“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除.

【答案】

C 5.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)内接于圆的四边形的对角互补；

(2)被5整除的整数的末位数字是5；

(3)三角形相似，对应边成比例. 【解】

(1)若四边形内接于圆，则它的对角互补.真命题.

(2)若一个整数被5整除，则它的末位数字是5.假命题.

(3)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例.真命题. 7/7