习题2.4教案1

导学案《探寻解析几何范围问题中隐性的不等关系》的设计说明

一、为什么选择《探寻解析几何范围问题中隐性的不等关系》为主题

求变量的取值范围不但是高中数学知识中的一个重点和难点，更是一种认知上的飞跃，思维上的提升。在变量变化的状态下研究问题，是整个高中数学课程教学的核心内容之一，深刻理解不等关系是范围问题的关键因素，掌握不等关系的灵活运用，十分有利于高中其他数学知识的理解和掌握。

有关解析几何内容的范围问题一直是高考中的一个热点，因其综合性强，方法灵活多变，特别是极易忽视隐性的不等关系，导致学生掌握上存在一定的困难。故而设计此复习学案，以提高学生对不等关系的理解和处理能力。

二、导学案各环节的设计思路

学

案

设

计

（2）已知实数a,b满足ab1（a0），求a2b2的取值范围。

●当一个学生想要观察和归纳，并能观察和归纳时，他也就踏上了自主探索之路——提供成功体验，培养观察与归纳的能力。

①让学生通过观察题面信息，归纳出共性是：都是求变量的取值范围，都有一设

计

思

路

个相等关系与一个不等关系，进而启发学生深刻理解不等关系是求解变量范围问题的关键因素。

②观察、归纳能力是研究数学的基本能力，问题设计是要提供学生观察和归纳数学信息的机会，让学生亲自感知、辨析问题之间的联系和共性，培养学生的观察能力和归纳能力。

③教师引导让学生注意到：观察与归纳的重要性，以发展自己的观察意识与归纳意识。

④引入环节的设置门槛较低，学生容易体验到成功，比较适合我校的学生。

第一环节：“联系旧识，思考发现”的设计

思考：请阅读以下两题，并思考这两个问题在题面上的共性是什么？

（1）已知实数a,b满足abb1，且b2，求a的取值范围。

第二环节：“引导探究，感悟体验”的设计

一、观察下列四个有关范围的问题，请找出题中的不等关系。

11x2y2（1）过椭圆C：221

(a＞b＞0)……若3

ab学

案

设

计

x2y24（2）双曲线221（a1,b0）……sc，离心率的取值范围。

5abx2y2（3）椭圆221

(a＞b＞0)和圆……离心率的范围为（

）

abx2y2（4）已知双曲线221,(a0,b0)……离心率e的最大值为（ ）

ab●当一个学生主动想要探究时，他的探索之旅才真正起航——制造认知冲突，激发研究意识。

①四个问题中，前两题具有显性的不等关系，后两题的不等关系是隐性的，两者一经比较，即刻产生认知上的冲突，学生会思考“为什么（3）（4）没有不等设

计

思

路

关系”，从而激发学生的研究热情，唤醒学生的研究意识。平时，我们的学生太习惯于解题了，在他们的脑海中，数学就是解题，为扭转这种思维上的偏差故设计此环节，是想告诉学生“研究数学并不是纯粹的解题，而是应该站在一定的高度上思考某种数学现象”。

②著名数学家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”因此，以学生自己发现问题的方式，顺势引出主题《探寻……隐性的不等关系》，既能引起学生的重视与共鸣，又充分体现以学生为本的教育教学思想，同时也突出了教师的引领作用，有利于构建健康的师生教学关系。

环

节

设

计

二、解决上面第（3）（4）两个问题

●“行是知之始，知是行之成”，让学生在实践中扬帆远航。

①为什么要选择（3）（4）这两个问题？

主要是知识结构与学情需要，因为它们在解析几何问题中具有一定的代表设

计

思

路

性，它们需要利用曲线定义与简单的几何性质来探寻其中隐性的不等关系，而曲线定义与简单的几何性质正是解析几何的核心知识，且与前一堂课所涉及的内容相吻合，有利于学生的理解和掌握。

②通过这两个问题的分析和学习，能提高学生的曲线定义和几何性质的综合应用能力，能进一步帮助学生锻练数形结合思想的运用，注重消参意识的强化和

消参思想的培养，有利于学生对范围问题的本质进行思考，帮助学生透过数学现象看数学本质。

第三环节：“自主探究，归纳总结”的设计

思考并解决以下问题

学

案

设

计

bcx2y2（1）已知c是椭圆221（ab0）的半焦距，则的取值范围是

（

）

aab2222x2y2abab（2）已知椭圆221（ab0），……证明：

x0abaax2（3）已知：椭圆y21……若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由。

3●东汉杰出的思想家王充倡导“施用累能”，让学生的智力与能力在实践中得到积累。

①为什么要选择这三个问题让学生实践操作？

设

计

思

路

从问题内容来看它们彼此不同，这三个问题分别从基本不等式、曲线范围、点与曲线的位置关系或判别式这四个不同的角度探寻隐性的不等关系；从题面形式来看它们也都不同，分别涉及值域问题、不等式证明问题、探索性问题，，因此具有一定的代表性。

②第（2）、（3）题需要“特殊”处理

由于第（2）、（3）题的运算量比较大，如果进行整题的思考与操作，不但冲淡了主题——探寻隐性的不等关系，更重要是时间绝对来不及，所以在学

案中已展示了问题前期（相等关系）的运算，但缺少了最后的关键因素（不等关系）。所以具体的处理方法是：先让学生阅读前期的运算过程，并自主分析其中的原因，再让学生思考、探寻隐性的不等关系以最终解决问题，从而达到一箭三雕的目的——确保主题鲜明、保障课堂时间，保证学生有充足的自主分析的时间与机会。

③第（3）题采用一题两解，为学生提供再反思、再创造的机会，让学生比较两种解法的优劣，培养学生的批判性思维和数学决策能力。同时让学生了解到既能从几何角度又能从代数角度探寻不等关系，深刻领悟几何与代数的和谐统一，培养学生用联系的观点分析事物的习惯。

第四环节：“【知识、方法、思想盘点】”的设计

由学生自己归纳、总结如何探寻隐性的不等关系，让学生在对课堂所学知设

计

思

路

识与技能的解释、分析、评估与批判中，发展自己的批判性思维能力。批判性思维是一种评估、比较、分析、批判和综合信息的能力。它是一种基本的，而又非常重要认知能力，在某种意义上，它是跳出自我、反思自己思维的能力。一个具有批判性思维的人，才能更深刻的理解数学现象，同时也更能保证自身的发展具有可持续性。

学

第五环节：“对联”的设计

请根据学习心得，对出下联：

案

设

计

上联：世界因相等而有序，

下联：

。

●在轻松的氛围中，实现学案主题教育功能的升华。

①适当调节课堂气氛，之前的问题都具有一定的难度，学生或多或少都有些压设

计

思

路

抑感，设置一个小小的对联，能缓解些许紧张的心理。

②上联突出了世界、相等，下联当然要体现生活与不等关系的重要性，所以学生必定会围绕生活与不等关系进行对联，非常自然地引导学生思考不等关系在生活中的作用，基于自身的经验，学生不难领悟到不等关系不仅仅在数学上，而且是在一个更大的范围内有着不可忽视的作用，如此势必引起学生对本节课主题的认可与共鸣，同时也是数学教育教学内涵的一次的升华和实践。

学

案

设

计

第六环节：“实践锻炼，小试身手”的设计

（1）设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，……y0的取值范围是

x2y2（2）设P(x，y)是曲线＋＝1上的点，F1(－4,0)，F2(4,0)，则必有

259A．|PF1|＋|PF2|≥10

B．|PF1|＋|PF2|≤10 C．|PF1|＋|PF2|<10

D．|PF1|＋|PF2|>10 （3）已知：直线l：ykx(k（4）若抛物线yax20)和顶点为A的抛物线……，求a的取值范围。

1上恒有关于直线xy0对称……，求a的取值范围。

设

计

思

路

学

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设

计

●在自我锻炼和应用中，巩固新知

①根据课堂教学情况选做1～2题。

②在课堂教学中，加强知识的巩固环节，是提高教学质量切实可行的好办法。可以使学生及时进行知识的消化和反馈，加强学生的理解和记忆，提高学生分析问题、解决问题和应用知识的能力。

第七环节：“名题赏析”的设计

（10年浙江文）

设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0。

（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1 ；（Ⅱ）求d的取值范围。

●画龙点睛，促进知识的迁移，让学生在知识的海洋里航行的更远。

虽然学案是围绕解析几何知识展开的，但隐性的不等关系却并不一定仅仅局限于解析几何。事实上，函数、数列等重要内容都存在着考查隐性的不等关系的问题，2010年浙江高考就是一个典型的例子。

设

计

思

路

知识的迁移是学习过程中一种非常有效的方式，迁移是学习的继续和发展，知识迁移的能力也是高中数学重点考查的能力之一，很多高考名题都以知识迁移立意，突出能力考查；再者，由于问题之间存在着明显的共因，所以知识的迁移便是一件水到渠成的事。同时，这种跨章节的迁移，能更有效地激发学生的迁移意识，培养学生的迁移能力。最后，拓宽学生的视野和知识面，能较有效的帮助学生理解和构建相对完整的知识体系、激发学生创新意识。所以，我思虑再三，决定还是把这个数列问题放进导学案里，课堂中只赏析，仅留课后自练，也算是画龙点睛吧。