1.4.1 全称量词优秀教案

1.4.1

全称量词

1.4.2

存在量词

[学习目标]

1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.

知识点一

全称量词和全称命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

知识点二

存在量词和特称命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. (2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.

[思考]

(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？

(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？

答案

(1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略. (2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.

题型一

全称量词与全称命题

例1

试判断下列全称命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋2>0；

(2)∀x∈N，x4≥1；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解

(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题. (2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题. (3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题. 反思与感悟

判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假. 跟踪训练1

试判断下列全称命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋1≥2；

(2)任何一条直线都有斜率；

(3)每个指数函数都是单调函数. 解

(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，

因而有x2＋1≥1，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题. π(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. 2(3)无论底数a>1或是0

存在量词与特称命题

例2

判断下列特称命题的真假：

(1)∃x0∈Z，x30<1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)有一个实数α，tan α无意义；

π(4)∃x0∈R，cos x0＝. 2解

(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，

∴“∃x0∈Z，x30<1”是真命题. (2)真命题，如梯形.

π(3)真命题，当α＝时，tan α无意义.

2π(4)∵当x∈R时，cos x∈[－1,1]，而>1，

2π∴不存在x0∈R，使cos x0＝，

2π∴“∃x∈R，cos x0＝”是假命题. 2反思与感悟

判定特称命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假. 跟踪训练2

试判断下列特称命题的真假：

2(1)∃x0∈Q，x0＝3；

2(2)∃x0，y0为正实数，使x20＋y0＝0；

(3)∃x0∈R，tan x0＝1；

(4)∃x0∈R，lg x0＝0. 解

(1)由于使x20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，

所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”为假命题. 222(2)因为x0>0，y0>0，所以x20＋y0>0，所以“∃x0，y0为正实数，使x0＋y0＝0”为假命题. ππ(3)当x0＝时，tan ＝1，所以“∃x0∈R，tan x0＝1”为真命题. 44(4)当x0＝1时，lg 1＝0，所以“∃x0∈R，lg x0＝0”为真命题. 题型三

全称命题、特称命题的应用

例3

(1)若命题p：存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围；

(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. 2解

(1)由ax20＋2x0＋a<0，得a(x0＋1)<－2x0，

2x02∵x0＋1>0，∴a<－2＝－x0＋11当x0>0时，x0＋≥2，∴－x0，

1x0＋x022≥－1，

1x0＋x0≤1，

1x0＋x021当x0<0时，x0＋≤－2，∴－x02∴－的最大值为1. 1x0＋x0又∵∃x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0成立，

∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1). (2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立. ②当m＋1≠0，则

m＋1<0，m<－1，⇒⇒132Δ<0，3m－1<0，Δ＝m－1－4m＋1·m<－或m>1，

m<－1，11

13综上，m<－. 11反思与感悟

有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别. 跟踪训练3

(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

(2)若命题p：1－sin 2x＝sin x－cos x是真命题，求实数x的取值范围. 解

(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

77解得a≥，∴实数a的取值范围为[，＋∞). 44(2)由1－sin 2x＝sin x－cos x，

得sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝sin x－cos x，

∴sin x－cos x2＝sin x－cos x，

即|sin x－cos x|＝sin x－cos x，

∴sin x≥cos x. π5π结合三角函数图象得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，此即为所求x的取值范围. 44π5π即p：∀x∈[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，有1－sin 2x＝sin x－cos x是真命题. 44

1.下列命题中全称命题的个数是(

) ①任意一个自然数都是正整数；

②有的等差数列也是等比数列；

③三角形的内角和是180°. A.0

B.1

C.2

D.3 答案

C 解析

①③是全称命题. 2.下列命题中，不是全称命题的是(

) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数

C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数

答案

D 解析

D选项是特称命题. 3.下列特称命题是假命题的是(

) A.存在x∈Q，使2x－x3＝0 B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C.有的素数是偶数

D.有的有理数没有倒数

答案

B 13解析

对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立. 244.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(

) A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0

πB.存在实数x0，使sin x0＝

2C.对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

答案

A 解析

含有存在量词的命题只有A，B，

π而sin x0≤1，所以sin x0＝不成立，故选A. 2π5.已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0，)，cos x<1，则下列命题为真2命题的是(

) A.p∧q

B.p∨(綈q) C.(綈p)∧q

答案

C 解析

当x0<0时，2x0<3x0不成立，

∴p为假命题，綈p为真命题，

D.p∧(綈q) π而x∈(0，)时，cos x<1成立，∴q为真命题. 2

1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断. 2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题. 3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.

一、选择题

1.下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；

②每一个中学生都要接受爱国主义教育；

③有人既能写小说，也能搞发明创造；

④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

C 解析

命题①②④都是全称命题. 2.下列命题中特称命题的个数是(

) ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1. A.0

B.1

C.2

D.3 答案

B 解析

命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题. 3.下列全称命题中真命题的个数为(

) ①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A.1

B.2

C.3

D.4 答案

C 解析

①②③为真命题.

4.给出以下命题：

①∀x∈R，有x4>x2；

②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；

③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0. 其中真命题的个数为(

) A.0

B.1

C.2

D.3 答案

B 解析

①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题.故选B. 5.下列四个命题中，为真命题的是(

) 1A.∀x∈R，x＋≥2 x1B.∃x0∈R，x0＋≥2 x0C.∃x0∈R，|x0＋1|<0 D.∀x∈R，|x＋1|>0 答案

B 1解析

当x0>0时，x0＋≥2成立. x06.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是(

) A.∃x0∈R，f(x0)≤f(x1) B.∃x0∈R，f(x0)≥f(x1) C.∀x∈R，f(x)≤f(x1) D.∀x∈R，f(x)≥f(x1) 答案

C 解析

∵x1是方程2ax＋b＝0的解，

b∴x1＝－，

2a又∵a>0，

∴f(x1)是y＝f(x)的最小值，

∴f(x)≥f(x1)恒成立. 7.已知命题p：∃x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(

) A.[0,4]

C.(－∞，0)∪(4，＋∞)

B.(0,4) D.(－∞，0]∪[4，＋∞)

答案

A 解析

∵p是假命题，

∴∀x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，

∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4. 8.下面四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；

③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为(

) A.3

B.2

C.1

D.0 答案

D 解析

x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题. ∵当且仅当x＝±2时，x2＝2，

∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题. 对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题. 4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 二、填空题

9.给出下列四个命题：

①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；

③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是________. 答案

①②④

解析

①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.

10.若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________. 答案

(－2，－1)∪(1，2) 解析

∵f(x)＝(a2－1)x是减函数，

∴0

∴a∈(－2，－1)∪(1，2). π0，，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 11.若“∀x∈4答案

1

ππ0，上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即解析

∵函数y＝tan x在44m≥1.∴m的最小值为1. 三、解答题

212.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x0＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围. 解

由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题. 若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立，

所以a≤1. 若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，

所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2. 综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. 13.若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. 解

(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点，

所以a∈R. (2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立. 又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1. 综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，a∈[－1,1].