3.1.1 变化率问题教学实录及点评

变化率与导数(第1课时) 主备人：周莉于

审核人：高二全体备课组成员

教师评价：

变化率与导数（1）（导学纲要）

【能力发展目标】

通过实例理解瞬时变化率的概念，知道瞬时变化率就是导数理解平均变化率的概念，会求具体函数的平均变化率；体会导数的思想及其内涵；会用定义求函数在学生学习笔记

教师教学心得

. 问题2 高台跳水回答下列问题. （3）运动员在t1-t2这段时间内的平均速率v= . （4）计算并回答探究问题：运动员在这段时间里是静止的吗？

你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？

某一点处的导数。

【学***均变化率的求法，求函数在某点处的导数. 【学习难点】导数的概念的理解.

课前预习纲要

【学法指导】预习选修1-1课本P72- P76，找出疑惑之处，并完成下列知识填空：

1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

（1）定义式：yx

；

（2）实质：

的改变量与

的改变量之比；

（3）意义：刻画函数值在区间x1,x2上变化的

。

2、函数y=f(x)在xx0处的瞬时变化率

（1）定义式：limyx0x

；

（2）实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，

趋近的值；

（3）作用：刻画函数在

处变化的快慢。

3、导数的概念

（1）定义式：limyx0x

；

（2）记法：

或

；

（3）实质：函数y=f(x)在xx0处的导数就是y=f(x)在xx0处的

。

【预习自测】

1.

设函数yf(x)x21，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（ ）A.

2.1 B. 1.1 C. 2 D. 0 2.如图，函数yf(x)在A,B两点间的平均变化率是3.设f(x)在xxf(xx)f(x)__________. 000处可导，则lim等于（ ） A. f'(xx'0(xx

'0) B. f0) C. f(x0) D. 2f'(x0)

4.函数yf(x)1x在x1处的瞬时变化率为 ．

课内学习探究纲要

学***均变化率问题

1、变化率问题 问题1 气球的膨胀率回答下列问题. （1）气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是

V= ；如果将半径r表示为体积V的函数，那么r= . （2）思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？

第1页 (共4页)

2、平均变化率的定义. （1）上述问题中的变化率可用式子f(x2)f(x1)x表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率；

2x1（2）若设xx2x1,则x2=x1x，

则平均变化率为yff(x2)f(x1)f(x1x)f(xxxx1)

2x1x（5）思考: 观察P74思考中函数yf(x)的图像你认为平均变化率yf(x2)f(x1)xx的几何意义表示2x1什么？

学习任务二、求瞬时速度

问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t=2时的瞬时速度是多少？考察t=2附近的情况:

问题2：当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

问题3：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率怎样表示？

小结：瞬时变化率的概念：一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是:f(x0x)f(x0)limx0xylimx0x

第2页 (共4页)

变化率与导数(第1课时) 主备人：周莉于

审核人：高二全体备课组成员

教师评价：

学习任务三、导数的概念

3、导数的概念. （1）在高台跳水运动中，平均速度不能更好地反映在这段时间里的运动状态，需要瞬时速度描述运动状态，我们把物体在某一时刻的速度称为 .如何求瞬时速度请阅读P74教材. （2）观察P74表格发现当t趋于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

h(2t)h(2)13.1的实际意义是什么？

（3）limt0t（4）运动员在某一时刻t0的

瞬时速度怎么样表示？

（5）函数f(x)在xx0处的瞬时变化率怎样表示？

（6）导数的概念：一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率我们称之为函数yf(x)在xx0处的 ，记作 或 ，即 . 学生学习笔记

教师教学心得

【方法技巧】（1）在平均变化率的基础上加上极限lim；

x0 （2）求极限x0可以令x0

三．求函数在某点处的导数

例4 求函数yf(x)3x22x在x1处的导数

【方法技巧】（1）求函数值的增量y；(2)求平均变化率（4）瞬时变化率的几种变式：

yy；（3）取极限f'(x0)lim

x0xx（7）举实例说明导数有哪些作用？

学习任务四：知识应用

一．求函数的平均变化率

1例1 求函数yx2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均3变化率最大？

例2 一物体的运动方程是s32t，则在2，2.1这段时间内的平均速度是（ ）.

【变式练习】若函数f(x)2x21的图像上一点1，1及领近一点1x,1y，则y= x

【方法技巧】求yf(x)从x0到x的平均变化率的步骤

学习任务五：整理提高

1、知识：

2、思想：

【当堂检测】

1.

【C】已知函数f(x)3x1,g(x)3x，则f(x)在区间-2，-1上的平均变化率为 ；g(x)在区间2n,6nn0上的平均变化率为 . 2.

【C】函数yf(x)，x由x0变为x0x时，函数的改变量y为（ ）

A.f(x0x) B.f(x0)x C.f(x0)x D.f(x0x)f(x0)

3.

【B】一个物体的运动方程为s(t)2t2at1，该物体在t=1的瞬时速度为3，则a=( ) A.

-1 B. 0 C. 1 D. 7 14.

【C】求函数yx在x1处的导数. x（1）求自变量的增量xxx0

（2）求函数的增量yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)

yf(x0x)f(x0)（3）求平均变化率

xx

课后巩固拓展纲要

区分函数的平均变化率和瞬时变化率，记忆导数，解决下列问题：

【C】1、设f(x)ax4，若f'(1)2，则a的值是 ；

2s3tt【B】2．任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是，则物体的初速度是（ ）

二．求瞬时速度

例3 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s(t)t32表示，则此物体在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）

A.

1 B. 3 C. -1 D. 0

【变式练习】试求上述物体在t0时的瞬时速度.

A.0 B.-2 C.3 D.3-2t 1【A】3、函数yx，

在x1处的导数是 。

x第3页 (共4页)

第4页 (共4页)