3.1.3 空间向量的数量积运算国家获奖教案

空间向量的数量积运算

一、教学目标

（一）知识与技能

掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

(二)过程与方法

学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中体会空间向量与平面向量的异同，理解应用空间向量解决立体几何问题的逻辑关系. （三）情感态度与价值观

在探究活动中，培养学生独立的分析和探索精神．

二、教学重点：空间向量的数量积的运算和运算律。

三、教学难点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。

四、教学时间：1课时[来源:学科网ZXXK]

五、教学方法：启发、引导、讨论. 六、授课类型：新课

七、教学用具：投影仪。

八、教学过程

（一）导入新课：通过复习导入新课

1.复***面向量数量积定义：

2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积. （二）新知探究

探究一

空间向量数量积的运算

1.两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，

在空间中任取一点O，作OAa，OBb，则AOB

叫做向量a与b的夹角，记作a,b．

说明：⑴规定：0a,b．

当a,b0时，

a与b同向；

当a,b时，a与b反向；[来源:学_科_网]

当a,b2时，称a与b垂直，记作：ab．

[来源:Zxxk.Com]⑵

两个向量的夹角唯一确定且a,bb,a．

⑶

注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，abcosa,b叫做向量a与b的数量积，记作ab，即

ababcosa,b

. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0a0；

⑵符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量ABa和轴l,e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A/，点B在l上的射影B/，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：

A/B/ABcosa,eae．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是ae的几何意义．

3.空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴aeacosa,e；

⑵abab0

⑶当a与b同向时，abab；

当a与b反向时，abab.

特别地，aaa或aaaa2.

⑷cosa,bab; ⑸abab. ab24. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(a)b(ab)a(b) (数乘结合律)；

⑵

abba (交换律)；

⑶a(bc)abac (分配律) 说明：⑴(ab)ca(bc)；⑵有如下常用性质：a2a;(ab)2a22abb2。

（三）例题分析

例1课本例2 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

例2课本例3 m,n是平面内的两条相交直线，如果lm,ln，求证：l。

2

（四）反馈练习

课本P92练习第1、2、3题 . （五）课时小结

引导学生完成小结内容：空间向量数量积的运算、性质、运算律及几何意义。（六）作业：

习题3.1A组第3,4,5题。

【板书设计】

§3.1.3空间向量的数量积运算

（一）、导入新课

（二）、新知探究

1空间向量数量积的运算

2空间向量数量积的性质

3空间向量数量积的运算律（三）例题分析

[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

（四）反馈练习

（五）课堂小结

（六）、课后作业

教学反思：通过本节学习，使学生掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，会用它解决立体几何中的一些简单问题。