3.1.1 变化率问题多媒体教学设计及其点评

《3.1.1变化率问题》教学设计

教学目标

[知识目标] 1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。

2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

[能力目标]1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。

[情感目标]

感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

教学重点

1.平均变化率的概念的归纳得出；

2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

3.感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。

教学难点

平均变化率的理解与转化

教学方法

引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。

教学过程设计

一．创设情境

为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。

【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质. 二．新课讲授

T (℃)C (34, 33.4)（1） .问题提出：

30问题1 气温平均变化率

2010A (1, 3.5)2B (32, 18.6)21020（注：3月18日为第一天）03034t(d)

【设计意图】引导学生最终用温度的平均变化率刻画

温度变化的快慢，让学生意识到可以用变化率体现事

物变化的快慢情况。

【学生探索】从图中观察出各时间段内的温度变化

情况,怎样用数学知识表示这种现象？

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度）， 动手计算：0t0.5和1t2的平均速度v，

h(0.5)h(0)在0t0.5这段时间里，v4.05(m/s)；

0.50在1t2这段时间里，vh(2)h(1)8.2(m/s)

21思考：当时间从t1增加到t2时,高台跳水运动员的平

均速度是多少? h(t2)h(t1)v

t2t1

【归纳总结】平均速度是用来刻画位移变化快慢的量。

65探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49⑴运动员在这段时间内是静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

65h()h(0)65【学生探究】经过计算知h()h(0)，所以v490(s/m)，

6549049

【分析作答】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知虽然运65动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运49动，并非静止，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映每一时刻的运动状态。

问题3 气球膨胀率

【学生探索1】吹气球的过程中，气球发生了什么变化？

现象总结：在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 【学生探索2】从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 4气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)r3

3

如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4空气容量v(L) 0 1 2 3 气球半径（dm）

0 0.62 0.78 0.89 半径的改变量0.62 0.16 0.11 （dm）

如果体积增量不是1L,而是2L或是3L,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢，

因此还要计算半径的变化率。 此题中的气球半径的变化率就叫做气球的平均膨胀率。

V从0增加到1L气球平均膨胀率为 V从1L增加到2L气球平均膨胀率为 V从2L增加到3L气球平均膨胀率为 【设计意图】对一种生活现象的数学解析，层层深入，激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是可以服务于生活实际的.

r(V2)r(V1)思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?VV

21【归纳总结】平均膨胀率用来刻画气球半径变化快慢的量。

让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。

（2）平均变化率概念: 【获取新知】平均变化率定义

平均变化率：式子f(x2)f(x1) ，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

x2x1习惯上用x表示x2x1，即xx2x1, ff(x2)f(x1)

则平均变化率为f(x2)f(x1)y（说明∆x是一个整体符号，而不是∆与x相xx2x1乘）

【定义理解】

1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。

2、式子中∆x，∆y的值可正、可负，∆x的值不能为0，∆y的值可以为0. xx2x1,x2x1x3、变式: f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)

x2x1x求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的变化量 yf(x2)f(x1)

yf(x2)f(x1)(2)计算函数平均变化率：



xx2x1思考：

（3）例题讲解

例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试比较从出生到

第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率那个较大. 【设计意图】引导学生从数与形两个角度来

分析变量的变化快慢。

例2.已知函数f(x)=2x+1, 分别计算在下列区间上f(x)的平均变化率. (1) [-3，-1]， (2) [0，5], 【设计意图】

理解定义并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

(4)小结归纳，拓展深化

１.通过本节课的学习，你学到了那些知识？

２.你又掌握了哪些学习方法？

３.课后作业：①习题1.1Ａ组

第1题．

②质点运动规律为st23，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 ．

③过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 【设计意图】让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础．通过回顾知识，达到拓展深化．