1.4.3 含有一个量词的命题的否定特级教师教学实录

全称命题与特称命题

课前预习学案

一、预习目标

理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的真假

全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，

二、预习内容

1.全称量词和全称命题的概念：

概念：

短语————，——————在逻辑中通常叫做全称量词，用符号————表示。

含有全称量词的命题，叫做——————。

例如：

⑴对任意nN，2n1是奇数；

⑵所有的正方形都是矩形。

常见的全称量词还有：

“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等

通常，将含有变量x的语句用px、qx、rx表示，变量x的取值范围用M表示。

全称命题“对M中任意一个x，有px成立”。简记为：xM，px

读作：任意x属于M，有px成立。

2．存在量词和特称命题的概念

概念：

短语————，——————在逻辑中通常叫做存在量词，用符号——表示。

含有存在量词的命题，叫做————（————命题）。

例如：

⑴有一个素数不是奇数；

⑵有的平行四边形是菱形。

特称命题“存在M中的一个x，使px成立”。简记为：xM，px

读作：存在一个x属于M，使px成立。

3．如果含有一个量词的命题的形式是全称命题，那么它的否定是————；反之，如果含有一个量词的命题的形式是存在性命题，那么它的否定是————。书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

1 疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

判别全称命题与特称命题的真假．

二、学习过程

探究一：判别全称命题的真假

1）所有的素数都是奇数；（2）xR,x211；（3）每一个无理数x，x2也是无理数．

（4）a,bxxmn2,m,nQ，abxxmn2,m,nQ．

探究二：判断下列存在性命题的真假：

（1）有一个实数x0，使x022x030；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；

（3）有些整数只有两个正因数．

（三）反思总结

1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定

2．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．

(四)当堂检测

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．

（1）对数函数都是单调函数；

（2）x{x|x是无理数}，x2是无理数；

（3）x{x|x}log2x0

课后练习

1．下列命题中为全称命题的是（

()

）

(A)有些圆内接三角形是等腰三角形

；

（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；

(C)所有矩形都有外接圆

；

（D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．

设计意图：能正确判断全称命题和特称命题及其区别．

2．下列全称命题中真命题的个数是（

（）

）

①末位是0的整数，可以被3整除；

②角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；

③对xZ,2x21为奇数．

2

（A）

0

（B）

1

（C）

2

（D）

3

3．下列特称命题中假命题．．．的个数是（

（）

）

①xR,x0；

②有的菱形是正方形；

③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．

（A）

0

（B）

1

（C）

2

（D）

3 2～3设计意图：能正确理解全称量词和特称量词．

4．命题“任意一个偶函数的图象关于y轴对称”的否定是（（A）

任意一个偶函数的图象不关于y轴对称；

（B）

任意一个不是偶函数的函数图象关于y轴对称；

（C）

存在一个偶函数的图象关于y轴对称；

（D）

存在一个偶函数的图象不关于y轴对称．

5．命题“存在一个三角形，内角和不等于180”的否定为（（A）存在一个三角形，内角和等于180；

（B）所有三角形，内角和都等于180；

（C）所有三角形，内角和都不等于180；

（D）很多三角形，内角和不等于180．

4～5设计意图：能从变式的角度理解全称命题与特称命题．

3 ）

）

全称命题与特称命题教案

一、教材分析

1）《课程标准》指出：“通过生活和数学实例，理解全称量词和特称量词的意义。”

《学科教学指导意见》中基本要求定为“1．通过教学实例，理解全称量词和特称量词的含义；２．能够用全称量词符号表示全称命题，能用特称量词符号表述特称命题；３．会判断全称命题和特称命题的真假；”。

（2）中学数学是由概念、定义、公理、定理及其应用等组成的逻辑体系。在理解数学概念、数学命题时, 全称量词与特称量词和数学命题的形式化常伴其中，进行判断和推理时,必须理解清楚它们的含义，遵守逻辑规律,否则,就会犯逻辑错误。掌握全称量词与特称量词的知识,对于深刻领会中学数学教学内容,提高学生的逻辑思维能力,有着重要的意义和作用. （3）就符号形式而言，它是一个全新的内容．就所表示的内容而言它是初中乃至高中课本大量数学命题的高度概括中的形式化，体现了从初中的数学知识较形象化向高中的数学知识较抽象化的进一步过度．

二、教学目标

1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；

2．能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假

三、教学重点难点

教学重点：理解全称量词与特称量词的意义. 教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假

四、学情分析

学生已学过初中和高中必修①～⑤的全部内容，已拥有了基本的模块知识和数学框架，对用数学符号表示数学命题并不陌生，课本中许多数学也来自生活，对纯数学命题和生活中数学命题有一定的经验，这些都是学生进一步学习的基础，一些常见的数学思想如转化，形式化思想在各个模块中也有所渗透，这些都为学习全称量词与特称量词提供了有利的保障和支撑. 概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流. 学生在学习数学符号的过程中会存在一定的困难,这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂行，要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来，用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征,对学生比较困难.主观因素在于三个

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方面：①思维定势的影响，全称命题“xM,p(x)”中，变量x和含有变量的命题p(x)受函数概念的影响而不能正确理解全称命题；②理解数学符号表述含义的困难，这些困难不仅是对量词概念的理解，还包括命题中所含的其他数学符号的含义。教师引导学生辨析很有必要．教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，把全称命题特称命题的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结判断全称命题与特称命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解概念的本质. 五、教学方法

探究法，学案导学

六、课前准备

（1）学生的学习准备；预习课本，查找哥德巴赫猜想表述的是什么内容；

（2）教师的教学准备；教学设计，课件制作，学生的学习行为分析等；

（3）教学环境的设计与布置；多媒体教室；

（4）教学用具的设计和准备：

投影仪，黑板，及其相关教学软件.

七、课时安排：1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

（ⅰ）．课题引入（采用多媒体）

哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.

1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：

(a)．任何一个大于

6的偶数都可以表示成两个质数之和．

(b)．任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和．

这就是哥德巴赫猜想．

欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明.从此，这道数学难题引起

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了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”．

中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充份大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通常这个结果表示为

“1+2”这是目前这个问题的最佳结果．

科学猜想也是命题．

哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题．

教师：这里的“任何”作何理解？你能举一个例子验证它吗？由你所举的例子能说明把猜想中的“任何”改为什量词即成为真命题？

学生：探究交流，说出自己的想法。

教师：教师评价。

设计意图：利用数学史中命题情景，弘扬民族精神，激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机．

（三）合作探究、精讲点拨。

探究一：判断下列全称命题的真假．

（1）所有的素数都是奇数；（2）xR,x211；（3）每一个无理数x，x2也是无理数．

（4）a,bxxmn2,m,nQ，abxxmn2,m,nQ．

教师：引导学生“动”起来。

学生：关键是要通过（1）（2）（3）的探究、交流和讨论使学生自己能够总结：要判断全称命题“xM,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中的找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，则这个命题就是假名题．（4）有一定难度，可以根据学生接受境况选用，培养学生的抽象思维能力，数学符号的使用能立和逻辑论证能力．

设计意图：通过演绎让进一步认识全称量词的含义，启发引导学生交流讨论总结判断全称命题真假的一般方法,

培养举反例的能力.让学生经历由特殊到一般和一般到特殊的认识过程,从而使学生从本质上认识全称量词的意义. 3．下列命题中量词有和特点？与全称量词有何区别？

（1）存在一个x0R,使2x013；

（2）至少有一个x0Z,x0能被2和3整除；

（3）有些无理数的平方是无理数．

教师：引导学生思考并说出（1）（2）（3）中量词与全称量词有何区别。

6 

学生：让学生经历观察、归纳的过程，在类比、归纳中获得体验，抽象特称量词“”与特称命题的概念，

理解量词的本质含义．

教师：类比全称量词与全称命题的特点，特称命题如何用同一种形式表示它们呢？

学生：讨论概括抽象特称命题的形式定义“x0M,p(x0)”。

设计意图：再次让学生已有的知识之上，经历观察、归纳的过程，在类比、归纳中获得体验，抽象特称量词“”与特称命题的概念，理解量词的本质含义；培养学生的类比归纳和概括能力．

探究二：．判断下列特称命题的真假．

（1）有一个实数x0，使x022x030；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；

（3）有些整数只有两个正因数．

教师：引导学生“动”起来。

学生：通过（1）（2）（3）的探究、交流和讨论使学生自己能够总结：要判断特称命题“x0M,p(x0)”是真命题，需要对集合M中的某一个元素x，p(x)成立；如果在集合M中的找不到任何一个元素x0，使得p(x0)成立，则这个命题就是假名题．

设计意图：通过演绎让进一步认识特称量词的含义，启发引导学生在类比全称命题真假的判断中总结判断特称命题真假的方法,培养学生分析问题解决的能力，理解量词的本质意义. 5．下列说法正确吗？

因为对xM,p(x)xM,p(x)，反之则不成立．所以说全称命题是特称命题，特称命题不一定是全称命题．

师生：共同探究，辨析。

全称命题和特称命题的判断关键是看强调“”还是“”，也就是说“全称命题”是指含有“全称量词”的命题，“特称命题”是指含有“特称量词”的命题，这个命题可能是真命题，也可能是假命题，而不是看命题本身的真假来确定是全称命题还是特称命题，这一点学生容易理解错误．如“xR,x21”尽管是假命题，但却是全称命题，而命题“xR,x20”中尽管x20对任意实数x成立，但却是特称命题．

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设计意图：通过辩析探究、合作交流和反思，理解全称命题“xM,p(x)”和特称命题“xM,p(x)”的本质含义，培养学生的反思意识和合作学习意识．

6．设函数f(x)x22xm，若对x2,4，f(x)0恒成立，求m的取值范围；

解决该问题的关键是对语句：“若对x2,4，f(x)0恒成立”的理解和在运用中领悟等价转化思想，即f(x)0恒成立fmin(x)0。

教师：引导学生获得：f(x)0恒成立fmin(x)0。

学生：x1,2，f(x)0fmin(x)0．∵x2,4,f(x)(x1)21m，

∴fmin(x)f(2)m0，∴m0。

设计意图：理解含有量词的数学命题，在运用的深化中加深对量词的理解，提高学生分析问题解决问题的能力．

（四）反思总结，当堂检测。

1．下列命题中为全称命题的是（

(C)

）

(A)有些圆内接三角形是等腰三角形

；

（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；

(C)所有矩形都有外接圆

；

（D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．

设计意图：能正确判断全称命题和特称命题及其区别．

2．下列全称命题中真命题的个数是（

（C）

）

①末位是0的整数，可以被3整除；

②角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；

③对xZ,2x21为奇数．

（A）

0

（B）

1

（C）

2

（D）

3

3．下列特称命题中假命题的个数是（

（A）

）

．．．①xR,x0；

②有的菱形是正方形；

③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．

（A）

0

（B）

1

（C）

2

（D）

3 2～3设计意图：能正确理解全称量词和特称量词．

4．命题“任意一个偶函数的图象关于y轴对称”的否定是（

（D）

）

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（A）

任意一个偶函数的图象不关于y轴对称；

（B）

任意一个不是偶函数的函数图象关于y轴对称；

（C）

存在一个偶函数的图象关于y轴对称；

（D）

存在一个偶函数的图象不关于y轴对称．

5．命题“存在一个三角形，内角和不等于180”的否定为（

（B）

）

（A）存在一个三角形，内角和等于180；

（B）所有三角形，内角和都等于180；

（C）所有三角形，内角和都不等于180；

（D）很多三角形，内角和不等于180．

4～5设计意图：能从变式的角度理解全称命题与特称命题．

九：板书设计：

十、教学反思

1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定

2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义

3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．

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