习题2.3名师教学视频（文字实录）

空间中的垂直问题

考纲解读

1.以立体几何的定义、公理、定理为出发点，判定空间中的垂直关系；2.以常见几何体为模型，进行空间中垂直关系的转化与探索

[基础梳理] 1．直线与平面垂直

(1)定义：直线l与平面α内的 一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)判定定理与性质定理：

文字语言

一条直线与一图形语言

符号语言

判定定个平面内的两条____直线都垂直，则该直错误!⇒l⊥α

理

线与此平面垂直

文字语言

图形语言

符号语言

性质垂直于同一个平定理

面的两条直线

 ⇒a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的____叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角

是 ．

(2)范围： . 3．平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念：

①二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义：

两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言

一个平面过另图形语言

符号语言

判定定理

一个平面的 ，则这两个平面垂直

错误!⇒α⊥β

文字语言

图形语言

符号语言

两个平面垂性质定理

直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直

[三基自测] 1．下列命题中不正确的是(

) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为(

) A．b⊂α

C．b⊂α或b∥α B．b∥α

D．b与α相交

错误!⇒l⊥α

3．(必修2·习题2.3A组改编)如图，在三棱锥VABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．

4．(2017·高考全国卷Ⅰ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、Q分别是AB、AD、AA1的中点，则AC1与面MNQ的关系为________．(垂直、不垂直)

一、线面垂直的判定与性质|方法突破

[例1] 如图，三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，E为AC中点，EF⊥AP，垂为F. (1)求证：AP⊥FB；

(2)求多面体PFBCE的体积．

关系为________．(垂直、不垂直)

[方法提升]

证明直线与平面垂直的常用方法

足(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直．

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．

(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．

(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线．

[跟踪训练] ∠ACB＝90°，PC⊥平面ABC，PC＝AC，D为PA的中点，求证：PA⊥面BDC.

二、平面与平面垂直的判定与性质|思维突破

[例2] (2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

[思维升华]

应用线面垂直的判定与性质定理的思维

(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证

明该直线与另一个平面垂直．

(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

[跟踪训练] 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

三、空间垂直关系的探索与转化|思维突破

[例3] 如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．

(1)求证：CD⊥平面SAD；

(2)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．

[思维升华]

一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：

(1)等腰三角形的高、中线与底边的垂直．

(2)矩形的相邻边垂直．

(3)直径所对的圆周角的两边垂直．

(4)菱形的对角线垂直．

(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．

[跟踪训练] (2018·安阳模拟)如图所示，平面ABDE⊥平面ABC，AC＝BC，四边形1ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD＝AE，O，M分别为CE，AB的中点．

2

(1)求证：OD∥平面ABC. (2)能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．