二、圆锥曲线的离心率与统一方程教学实录与评析

解析几何二级考点的归纳

一、中点弦问题b2x0（）椭圆的中点弦斜率1k2(其中（x0,y0）为弦的中点坐标)，对应的椭圆方程为：ay0a2x0x2y2y2x21(ab0),若221(ab0)则k2a2b2baby0b2x0(2)双曲线的中点弦斜率k2(其中（x0,y0）为弦的中点坐标)，对应的椭圆方程为：ay0a2x0x2y2y2x221(ab0),若221(ab0)则k22abbaby0(3)抛物线y22px的中点弦斜率为k为弦的中点坐标)1x2y2例1.过点M（1,1）作斜率为-的直线交椭圆C：221(ab0)于A,B两点，若M2ab为AB的中点，则椭圆的离心率e_____________.p2p;x2py的中点弦斜率为k(其中（x0,y0）y0y01b21b21b22解：根据中点弦公式，-22e12.

2a1a2a2x2y2例2.已知双曲线221,F(3,0)是它的一个焦点，过点F作直线l交双曲线A,B两点，ab且AB的中点为N（-12,-15）,则双曲线的方程为_____________.b212150解：21123a15x2y2145b2522c3a4,b524a

二、通径：x2y22b2（）椭圆121(ab0)的通径|PP;12|2aba

222xy2b(2)双曲线221(ab0)的通径|PP|;12aba(3)抛物线y22px(p0)的通径|PP12|2p.

1

例3.双曲线的一个顶点与通径的两个端点形成锐角三角形，求离心率e的取值范围.

b2CF解：记CAFtanCAFtan45a1c2ac2a20

AFace2e20e2e1,2

三、焦点三角形面积（）椭圆：1

yMαF1F2x

SMF1F2b2tan2

(2)双曲线：

SMF1F2b2tan2

2

x2y2例4.已知椭圆221(ab0),且PF1PF20(P为椭圆上一点)，SMF1F29，则abb_____.解：Sb2tan459b3MFF12

x2y2例5.已知双曲线1,两焦点分别为F1，F2，若M在双曲线上且MF1MF20.求164点M到x轴的距离.b2145解：记M点到X轴距离为d,由SFFddMFFtan450212512

例6.如图F1MF260，求离心率的取值范围.

yM60°F1F2x

120解：由SMFFbtan30F1F2bb212四、椭圆的第二定义和焦半径长如图：

3ce11e,122

(1)第二定义：|MF2||MF1|e|MN||MP|(2)右焦半径|MF2|a-exM;左焦半径|MF1|aexM

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例7.已知F为椭圆C的一个焦点，B为短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆于D，且BF2FD,求离心率.

c123

解：记BFO,则COSea(12)e3

通过本例可以得到一般性结论：五、圆锥曲线：（）椭圆，（12）双曲线；（3）抛物线过焦点F的弦分AFBF，且直线的倾斜角为，则有cos|1|,对于抛物线e1.(1)ex2y2b2六、椭圆221(ab0)上任意到长轴两端点连线的斜率之积为定值-2,aba

2b双曲线为2.ax2y2例8.如果椭圆C：1的左右焦点分别为A1,A2,点P是C上异于A1，A2的任意一点，43如果PA1所在直线斜率的取值范围是[1,2],则直线PA2所在直线的斜率的取值范围是___.解：KPA1K333K,PAPA48422

七、双曲线离心率e与渐近线斜率k之间的关系为e2k21.

3例9.若双曲线的渐近线斜率为yx(焦点在x轴上)，则离心率e_________.

43解：e2k21e214

255e

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八、焦线距长为bx2y22例10、已知221的一个焦点（F2,0）,且双曲线的渐近线与圆（x-2）y23ab相切，则双曲线的方程为___________.

x2y2解：c2,焦线距为b3113九、抛物线的焦半径：（）1y22px(p0)的焦半径|MF|

ppx0;(2)y22px(p0)的焦半径|MF|-x0;22pp(3)x22py(p0)的焦半径|MF|y0;(4)x22py(p0)的焦半径|MF|-y0.22十、抛物线过焦点的弦长：以抛物线y22px(p0)为例，则|AB|x1x2p

2p(为直线的倾斜角)sin2同理：开口向左：|AB|p-(x1x2) 开口向上：|AB|y1y2p 开口向下：|AB|p-(y1y2)

例11、已知直线l:ykx2k与圆x2y24x30及抛物线y28x依次交于A,B,C，D点，且|AB||CD|14，求k的值.

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解：因为直线过2，0点，恰好既是圆心又是设F为抛物线y28x的焦点，设过焦点F的直线傾斜角为，由题意知圆的半径是1，所以过焦点的2P81122弦长AB142；所以sincostan21

22sinsin22所以k1.例12.（2014全国II）设F为抛物线y23x的焦点，过焦点作傾斜角30的直线交抛物线于A,B两点，且O为坐标原点,则AOB的面积为

解：因为F为抛物线y23x的焦点，过焦点作傾斜角3002P3所以，AB12,又因为坐标原点到焦点弦距离等于220sinsin30

11P133139OF,所以，OAB面积为12222248284

十一、对于抛物线y22px，过点F作直线与它相交于A,B两点，记（Ax1,y1）,B(x2,y2)则有：(1)x1x2

12112p;(2)y1y2p2;(3).4|AF||BF|p28x的焦点，直线ykx2交例13.（2015东三省联考题）设F为抛物线y抛物线于P,Q两点，则11值为FPFQ11212，解：易知直线过焦点0，所以FPFQp2例14.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F作倾斜角为60的直线与抛物线交于A,B两点，则|AF|___________.|BF|解法一:因为设F为抛物线y22pxp0的焦点，过焦点作直线交抛物线于A,B两点，所以，ABAFBFmn2p2p8p;223sinsin6011211222；解方程组得：m2p,np;或mp,AFBFpmnp3313或.BF3AFn2p;因此

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十二、椭圆如图有如下结论：kPAkPBb22a

yPOA

Bx十三、椭圆如图，ABF1周长为4a

yAF1OF2B

xx2y2例15.已知直线yk(x2)与椭圆1相交于A,B两点，若M为（-2,0），则

95MAB的周长为__________.十四、解决解析几何小题的常用策略方法必须牢记两句话：（）尽量用定义；1（2）尽量用几何性质（平面几何性质）.x2y2例16.已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2,过右焦点F2的直线交ab双曲线于A,B两点，连接AF1,BF1，若|AB||BF1|,且ABF190，则双曲线的离心率为____.

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解：如图记|BF1|m,则|BF1||AB|m,由|BF2|-|BF1|2a(用定义)|AF2|2a再由|AF1|-|AF2|2a(用定义)得|AF1|4a由F1BA为等腰直角三角形（几何性质）知F1AF2135，2再由余弦定理得：（2c）(4a)2(2a)22(4a)(2a)cos135

(52)a2c2e52x2y2例17.已知双曲线221(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2，且|F1F2|4，P是ab双曲线右支上的一点，直线PF2交y轴于点A,AF1P的内切圆与边PF1相切于点Q，若|PQ|1，则双曲线的渐近线方程为____________.

解：如图记|AM||AN|m,|F1M||FQ1|n,|PN||PQ|1(用几何性质切线长相等)，|PF1|n1,|PF2||AF2|-|AP||AF1|-|AP|mn-(m1)n-1(几何性质)

|PF1||PF2|2a(用定义)，（n1）-(n-1)2aa1,|F1F2|2c4,c2,b3,渐近线的方程为y3x.

例18.过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A,B，C，若|BC|2|BF|,且|AF|3，则抛物线的方程为___________.

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解：|BC|2|BF|,记|BF|m,则|BC|2m,用定义：|BP||BF|mBCP30,|AM||AF|3(用定义)，|AC|2|AM|6|CF|3，（|AF|3），NF为CAM的中位线13|NF||AM|(几何性质)223p,y23x为所求.21|BC|2

x2y2例19.以椭圆221(ab0)上一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与aby轴相交于B,C两点，若ABC为锐角三角形，求椭圆的离心率的取值范围.

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b2解：如图|AM|r|AF2|(半个通径)，根据A与x轴相切于F2(几何性质)ab2b2则（Ac,）,c...(1)aa又ABC为锐角三角形且等腰，045(几何性质)sinsin45(几何性质)b2ac2....(2)26-251e22

由(1),(2)解得：

x2y2例20.已知P为双曲线221(a0,b0)上一点，F1,F2是其左、右焦点，PF1与渐ab近线平行，F1PF290，则离心率e__________.

解：如图F1PF290及PF1//渐近线得：lPF2(几何性质)结合焦线距知识|F2M|b,|OF2|c,|OM|a|PF1|2|OM|2a,|PF2|2|MF2|2b(几何性质)|PF2|-|PF1|2a,2b-2a2a,b2ae5

x2y2例21.已知双曲线221(a0,b0)与函数yx的图象交于点P，若函数图象在P处ab的切线过双曲线的左焦点（F-2,0），则双曲线的离心率e_________.

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