1.1.3 四种命题间的相互关系教学目标

1.1.３

四种命题间的相互关系教学设计

绍兴市高级中学

刘莉莉

教学内容

本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（人教A版）选修2-1第1章1.1.3内容。

教材的地位与作用

数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处都涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证。本节课研究的内容既是对学生之前学习过的命题知识的延续和提高，又是后面研究充分条件和必要条件、全称量词和存在量词等知识的基础。同时也是培养学生用逻辑用语来阐明数学知识的需要，是人们在日常生活中进行思考、交流的需要。

教学问题诊断分析

课本中所涉及到的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对命题的逆命题、否命题、逆否命题只要求作一般性的了解。常用逻辑用语，与基于数学意义上的简易数理逻辑是不全相同的。学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证内中的作用。四种命题的相互关系有赖于学生对给出的命题的观察归纳和猜想，这里其实蕴含了合情推理，因为结论的证明依靠真值表，这是数理逻辑的内容，是教材回避的。

教学目标

知识与技能

理解四种命题的概念，了解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种命题。

过程与方法

通过熟悉的例子说明四种命题形式的客观存在，使学生体会研究四种命题形式的必要性，采用启发式教学使学生明白四种命题的关系。通过探究和练习题，培养他们分析问题、解决问题的能力。

情感、态度与价值观

让学生感受用逻辑语言准确地表达数学内容的重要性，培养学生逻辑推理能力，掌握“正难则反”的数学思想，同时通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：四种命题的概念。

教学难点：由原命题写出另外三种命题。

授课类型：新授课。

教具准备：多媒体课件。

教学过程

知识的回顾（提问方式）（3-4分钟）

【设计意图】：熟悉之前的知识，方便进行新知识的学习；同时对知识回顾进行当场检测，得到的结论用于新知识的探索。

新知探究（学生归纳总结）（10-16分钟）

新知1.互逆命题的真假关系

判断下列命题的真假，并总结规律。

1）原命题：若a>b，则a+c>b+c。（真）

逆命题：若a+c>b+c，则a>b。（真）

2）原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。（真）

逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。（假）

223）原命题：若a>b，则acbc（假）

22逆命题：若acbc，则a>b（真）

4）原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。（假）

逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。（假）

结论：原命题的真假和逆命题的真假没有关系。

新知2.互否命题的真假关系

1）原命题：若a>b，则a+c>b+c（真）

否命题：若a≤b，则a+c≤b+c（真）

2）原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。（真）

否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。（假）

22原命题：若a>b，则acbc（假）

22acbc否命题：若a≤b，则（真）

4）原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。（假）

否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。（假）

结论：原命题的真假和否命题的真假没有关系。

新知3.互为逆否命题的真假关系

原命题：若a>b，则a+c>b+c（真）

逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b（真）

2）原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。（真）

逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。（真）

223）原命题：若a>b，则acbc（假）

22逆否命题：若，acbc，则a≤b（假）

4）原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。（假）

逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。（假）

结论：原命题和逆否命题总是同真同假。

新知4.否命题和逆命题的真假关系

1）否命题：若a≤b，则a+c≤b+c（真）

逆命题：若a+c>b+c，则a>b（真）

2）否命题：若四边形是不正方形，则四边形两对角线不垂直。（假）

逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形（假）。

223）否命题：若a≤b，则acbc（真）

22逆命题：若acbc，则a>b（真）

4）否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。（假）

逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。（假）

结论：逆命题和否命题总是同真同假。

总结四种命题之间的关系及其真假的关系并给出真值表以及常见结论的否定形式。见(PPT) 基础达标检测（1-2分钟）

1.设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”,写出逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。

原命题：当c>0时，若a>b，则ac>bc

（真）

逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b

（真）

否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc

（真）

逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b

（真）

在下列横线上,填写”互逆””互否””互为逆否”

(1)命题:”若q则┐p”与命题”若┐q则p”____互否____ (2)命题:”若┐p则q”与命题”若q则┐p”_____互逆___ (3)命题:”若┐q则p”与命题”若┐p则q”____互为逆否__ 【设计意图】：及时巩固、检验所学知识。

考点突破（18-20分钟）

对于命题在判断它的真假性时，如果直接判断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，先判断等价命题的真假，由等价命题的真假再确定原来命题的真假．

22pq2pq2. 若，则22pq2pq2”

证明一：要证“若，则22pq2，则pq2”成立。

只需证它的逆否命题“若2222pq22pq2pq

∴pq1

∵，则222

∴(pq)pq2pq2pq4

∴pq2

∴逆否命题为真命题，故原命题也为真命题。

2222pq22pq2pq

∴pq1

证明二：假设，则222(pq)pq2pq2pq4

∴（

∴pq2，这与命题的条件pq2相矛盾，

22pq2，故原命题为真命题。

∴假设不成立，即（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）

下列命题中正确的是(

B

) 22xy0，则x，y不全为零”的否命题；

①“若②“正三角形都相似”的逆命题；

2③“若m>0，则xxm0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④

B．①③④

C．②③④

D．①④

22a,xx(2a1)xa20的例3.判断命题“已知为实数，若关于x的不等式解集非空，则a1”的逆否命题的真假．

解：法一：原命题的逆否命题：

22a,xx(2a1)xa20的解集a1x已知为实数，若，则关于的不等式22yx(2a1)xa2的图象开口向上，

为空集．判断其真假如下：抛物线22(2a1)4(a2)4a7

判别式因为a1，所以4a70. 22yx(2a1)xa2的图象与x轴无交点．

即抛物线22x(2a1)xa20的解集为空集．x所以关于的不等式故原命题的逆否命题为真．

法二：先判断原命题的真假：

22a,xx(2a1)xa20的解集非空，

x因为为实数，且关于的不等式22所以(2a1)4(a2)4a7，即4a70，

解得a74.所以a1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．

方法感悟说一说：

一个命题与它的逆否命题同真同假，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而判断出原命题的真假．

板书设计：