1.2.2 充要条件教案推荐

1.2

充分条件与必要条件

1.2.1

充分条件与必要条件

1.2.2

充要条件

新知探求

素养养成

知识点一

推出符号“⇒”的含义

梳理

一般地,如果“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,记作:

“

”;

如果“若p,则q”为假,即如果p成立,那么q不一定成立,记作:“

”.

知识点二

充分条件与必要条件

梳理

(1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作

,

并且说p是q的

条件,q是p的

条件.

(2)“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作

,这时,我们就说p不是q的

条件,q不是p的

条件.

知识点三

充要条件

梳理

一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作

,此时,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件,显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概况地说,如果p⇔q,那么p与q互为

.

名师点津:借助“子集概念”理解充分条件与必要条件.设A,B为两个集合,集合A⊆B是指x∈A⇒x∈B.这就是说,“x∈A”是“x∈B”的充分条件,“x∈B”是“x∈A”的必要条件.对于真命题“若p则q”,即p⇒q,若把p看做集合A,把q看做集合B,“p⇒q”相当于“A⊆B”.

课堂探究

素养提升

题型一充分、必要、充要条件的判断

【例1】

(1)(2016·天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(

)

(A)充要条件

(B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:(1)若x>|y|,则-x

由x>y是-x

即x>y是x>|y|的必要不充分条件.故选C.

(2)(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(3)使不等式x2-3x<0成立的充分而不必要条件是(

)

(A)0

(C)0

(D)x<0或x>3

解析:(2)由a⊂α,b⊂β,因此当直线a,b相交时,平面α,β一定相交,但平面α,β相交时,直线a,b可以异面.故“直线a和b相交”是“平面α和β相交”的充分不必要条件.故选A.

(3)解不等式x2-3x<0得0

方法技巧

充分、必要、充要条件的判断方法

若p⇒q,q

p,则p是q的充分不必要条件;

若p

q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件;

若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件;

若p

q,q

p,则p是q的既不充分也不必要条件

即时训练1:(1)(2017·哈师大附中高二期末)集合M={x|0

{x|0

)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(2)(2017·银川一中高二期末)已知条件p:|x-1|<2,条件q:x2-5x-6<0,则p是q的(

)

(A)充分必要条件

(B)充分不必要条件

(C)必要不充分条件

(D)既不充分又不必要条件

(3)设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是(

)

(A)x>1 (B)x<1 (C)x>3 (D)x<3

题型二

已知充分、必要条件求参数的值或范围

【例2】

(2017·崇礼县期中)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0. (1)求p中对应x的范围; 规范解答:(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,

即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,

即p中对应x的范围为[1,4].

(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.

规范解答:(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}. 2由x-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0, 当a=2时,解得x=2,对应的解集为B={2}, 当a>2时,解得2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a}, 当a<2时,解得a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}, 若p是q的必要不充分条件,则BA, 当a=2时,满足条件. 当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a}, 要使BA,则满足2

由条件关系求参数的取值(范围)的步骤:

(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系;

(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解

即时训练2:(2018·襄阳高二检测)已知p:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,q:2x2-3x-2≥0,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

解:令M={x|2x-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0} ⇒{x|x≤-221或x≥2}, 2N={x|x-2(a-1)x+a(a-2)≥0} ={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}⇒{x|x≤a-2或x≥a}, 已知q⇒p且pq,得MN.

11333a2,a2,所以2或2⇔≤a<2或

充要条件的求解与证明

【例3】

已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

证明:充分性:当q=-1时,a1=p-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=p(p-1). 当n=1时,上式也成立. nan1pp1于是=n1=p,即数列{an}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q. pp1ann-1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=p(p-1). nan1pp1因为p≠0且p≠1,所以=n1=p. pp1ann-1因为{an}为等比数列,所以pp1a2an1==p=, a1anpq所以q=-1.所以数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1. 方法技巧

充要条件的证明步骤:

(1)证充分性:由条件推出结论.

(2)证必要性:由结论推出条件.

即时训练3:证明:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件

证明:必要性:对于x,y∈R,如果x2+y2=0,

则x=0,y=0,即xy=0,

故xy=0是x2+y2=0的必要条件;

不充分性:对于x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,

故xy=0是x2+y2=0的不充分条件.

综上所述:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件

题型四易错辨析——充分条件与必要条件概念不清致误

【例4】

下列四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是(

)

(A)a>b+1

(B)a>b-1

(C)a2>b2

(D)a3>b3

错解:选D.

纠错:a>b⇔a3>b3,选项D为a>b的充要条件.

正解:因为a>b+1⇒a-b>1⇒a-b>0⇒a>b,所以a>b+1是a>b的充分条件.

又因为a>b⇒a-b>0

a>b+1,所以a>b+1不是a>b的必要条件,

所以a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件.故选A.

另解(特例排除法)

当a=2=b时,满足a>b-1,但a>b不成立;又a=-3,b=-2时,a2>b2,但a>b不成立;a>b⇔a3>b3.故B,C,D选项都不对.故选A.