1.2.1 充分条件与必要条件教学实录及点评

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、

否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

授课提示：对应学生用书第4页

◆

教材通关

◆

1．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．

[必记结论]

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．

[提醒]

易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．充分条件、必要条件与充分必要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充分必要条件

p⇒q且qp

p

q且q⇒p

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

[小题诊断]

pq且qp

1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(

) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．

答案：A 2．命题“若a2＜b，则－b＜a＜b”的逆否命题为(

) A．若a2≥b，则a≥b或a≤－b

B．若a2＞b，则a＞b或a＜－b

C．若a≥b或a≤－b，则a2≥b

D．若a＞b或a＜－b，则a2＞b

解析：因为“a2＜b”的否定为“a2≥b”，“－b＜a＜b”的否定为“a≥b或a≤－b”，所以逆否命题为“若a≥b或a

≤－b，则a2≥b”．

答案：C 3．(2018·唐山模拟)已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，所以a3＜b3⇔a＜b⇔2a＜2b，即“a3＜b3”是“2a＜2b”的充要条件．

答案：C 4．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(

) A．逆命题

C．逆否命题

B．否命题

D．否定

解析：命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

答案：B 5．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，

则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

x＞1，解析：∵∴x＋y＞2，即p⇒q. y＞1，

而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q充分不必要条件．

答案：A

p．故p是q的6．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(

) A．a≥4

C．a≥1

B．a＞4 D．a＞1 解析：要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a＞4是命题为真的充分不必要条件．

答案：B ◆

易错通关

◆

1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B且AB)两者的不同．

[小题纠偏]

1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．

答案：必要不充分

2．“在△ABC中，若C＝90°，则A，B都是锐角”的否命题为：________. 解析：原命题的条件：在△ABC中，C＝90°，

结论：A，B都是锐角．否命题是否定条件和结论，

即“在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角

授课提示：对应学生用书第5页

考点一

命题及其关系

自主探究

基础送分考点——自主练透

A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A

[题组练通] π1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题(

) 3A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△πABC有一内角为”，它是真命题．

3答案：D 2．(2018·焦作质检)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.给出命题s：若|q|＝2，则S6＝7S2，则在命题s的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是(

) A．3

C．1

2B．2 D．0 a11－q6a11－q21＋q2＋q4a11－q2解析：若|q|＝2，则q＝2，S6＝＝＝7·＝7S2，所1－q1－q1－qa11－q6a11－q2以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S6＝7S2时，显然q≠1，这时＝7·，1－q1－q解得q＝－1或|q|＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2. 答案：B 3．命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是(

) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c＞b＋c，则a＞b

D．若a＞b，则a＋c≤b＋c

解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A. 答案：A

1.判断命题真假的方法

(1)判定一个命题是真命题，需经过严格推理证明，而要说明它是假命题，只需举出一个反例即可．

(2)利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题具有相同的真假性对所给命题的真假进行间接

判断．

2．由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

考点二

充分必要条件的判定

互动探究

重点保分考点——师生共研

1[典例]

(1)(2018·合肥教学质检)“x≥1”是“x＋≥2”的(

) xA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)(2018·衡阳联考)设p：x2－x－20＞0，q：log2(x－5)＜2，则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11解析：(1)由题意得x＋≥2⇔x＞0，所以“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要条件，xx故选A. (2)设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

(3)∵x2－x－20＞0，∴x＞5或x＜－4，∴p：x＞5或x＜－4.∵log2(x－5)＜2，∴0＜x－5＜4，即5＜x＜9，∴q：5＜x＜9，∵{x|5＜x＜9}{x|x＞5或x＜－4}，∴p是q的必要不充分条件．故选B. 答案：(1)A

(2)C

(3)B

充要条件的3种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件.

[即时应用]

1．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题．故p是q的充分条件．设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题，即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A. 答案：A 2．设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2ab＞1”的(

) －A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：log2a＞log2b⇔a＞b＞0,2ab＞1⇔a＞b，所以“log2a＞log2b”是“2ab＞1”的充－－分不必要条件．故选A. 答案：A 2x＋x≥03．已知命题甲是“xx－1

”，命题乙是“{x|log3(2x＋1)≤0}”，则(

) A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

x2＋x解析：由≥0，即x(x＋1)(x－1)≥0且x≠1，解得－1≤x≤0或x＞1.∵log3(2x＋1)≤0，x－11∴0＜2x＋1≤1，解得－＜x≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B. 2答案：B 考点三

根据充分、必要条件求参数的取值范围

变式探究

母题变式考点——多练题型

[典例]

(2018·济南月考)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的充分必要条件？若存在，求出m的取值范围．

解析：P＝{x|x2－8x－20≤0}＝{x|－2≤x≤10}．

要使x∈P是x∈S的充分必要条件，则P＝S，

即{x|－2≤x≤10}＝{x|1－m≤x≤1＋m}．

1－m＝－2，∴1＋m＝10，

此时，m不存在，即不存在实数m，使得x∈P是x∈S的充分必要条件．

[变式探究1]

母题条件若改为“x∈P是x∈S的必要条件”，问题不变．

解析：∵x∈P是x∈S的必要条件，

即x∈S⇒x∈P，∴SP，

1－m≥－2，∴1－m＞1＋m或1＋m≤10，1－m≤1＋m，∴m≤3. [变式探究2]

母题条件若改为“綈P是綈S的必要不充分条件”，问题不变．

解析：∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴S是P的必要不充分条件，

∴P是S的充分不必要条件，

1＋m＞1－m，∴PS⇔1－m≤－2，1＋m≥10，

∴m≥9.

利用充要条件求参数的值或范围的关键点和注意点

(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．

(2)注意点：注意区间端点值的检验.

[即时应用]

1．(2018·日照模拟)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

1解析：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1，

21. ≤x≤1∴命题p为x2

由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，

∴命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

1x＞1或x＜，

綈p对应的集合A＝x2

綈q对应的集合B＝{x|x＞a＋1或x＜a}．

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

11∴a＋1≥1且a≤，∴0≤a≤，

2210，. 即实数a的取值范围是210，

答案：21＜2x＜8，x∈R，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的2．已知集合A＝x2

一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

1x＝{x|－1＜x＜3}，

＜2＜8，x∈R解析：A＝x2

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2. 答案：(2，＋∞)

课时作业

单独成册

对应学生用书第189页

A组——基础对点练

1．(2017·高考天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

0≤x≤2，

解析：由|x－1|≤1，得0≤x≤2，∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B. 2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(

) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

解析：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C. 答案：C 3．已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(

) A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”是真命题

B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题

C．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题

D．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

解析：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

答案：D 4．“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1

∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件，故选A. 答案：A 5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(

) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．

答案：D 6．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的(

) A．充分不必要条件

B．充要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C. 答案：C 7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．0

C．2

B．1 D．3 解析：原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3. 答案：D 8．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.

答案：A 9．(2018·武汉市模拟)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：a1＞0，a2n－1＋a2n＝a1q2n2(1＋q)＜0⇒1＋q＜0⇒q＜－1⇒q＜0，而a1＞0，q＜0，－1－取q＝－，此时a2n－1＋a2n＝a1q2n2(1＋q)＞0.故“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n2＜0”的必要不充分条件．

答案：B 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案：B 11．(2018·南昌市模拟)a2＋b2＝1是asin θ＋bcos θ≤1恒成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：因为asin θ＋bcos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)≤a2＋b2，所以由a2＋b2＝1可推得asin θ＋bcos θ≤1恒成立．反之，取a＝2，b＝0，θ＝30°，满足asin θ＋bcos θ≤1，但不满足a2＋b2＝1，即由asin θ＋bcos θ≤1推不出a2＋b2＝1，故a2＋b2＝1是asin θ＋bcos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A. 答案：A 12．(2018·洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，

∴“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

答案：A 13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的__________条件．

ab解析：由正弦定理，得＝，故a≤b⇔sin A≤sin sin Asin B答案：充要

114．“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的__________条件．

211解析：由log(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“log(x＋2)＜0”22的充分不必要条件．

答案：充分不必要

15．命题“若x>1，则x>0”的否命题是__________．

答案：若x≤1，则x≤0 16．如果“x2>1”是“x

解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，

又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1. 答案：－1 B组——能力提升练

1．(2018·湖南十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若A＝B＝0，则Sn＝0，故数列{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，则a3a2a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2，由＝，得A＝－B.故选B. a2a1答案：B 2．已知函数f(x)＝3ln(x＋x2＋1)＋a(7x＋7x)，x∈R，则“a＝0”是“函数f(x)为奇函－B．

数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由题意知f(x)的定义域为R，易知y＝ln(x＋x2＋1)为奇函数，y＝7x＋7x为偶函－数．当a＝0时，f(x)＝3ln(x＋x2＋1)为奇函数，充分性成立；当f(x)为奇函数时，则a＝0，必要性成立．因此“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．故选C. 答案：C 3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(

) A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 答案：A 4．“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1解析：x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20.故选A. 2答案：A 5．若a，b为正实数，且a≠1，b≠1，则“a＞b＞1”是“loga 2＜logb 2”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

ln 2ln 2ln 2ln b－ln a解析：当a＞b＞1时，loga 2－logb 2＝－＝＜0，所以loga 2＜logb

ln aln bln a·ln b12.反之，取a＝，b＝2，loga 2＜logb 2成立，但是a＞b＞1不成立．故“a＞b＞1”是“loga

22＜logb 2”的充分不必要条件，选A. 答案：A 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，则“a3>0”是“数列{Sn}为递增数列”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当a1＝1，a2＝－1，a3＝1，a4＝－1，…时，{Sn}不是递增数列，反之，若{Sn}

是递增数列，则Sn＋1>Sn，即an＋1>0，所以a3>0，所以“a3>0”是“{Sn}是递增数列”的必要不充分条件，故选B. 答案：B 7．“a≤－2”是“函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：结合图象可知函数f(x)＝|x－a|在[a，＋∞)上单调递增，易知当a≤－2时，函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A. 答案：A 8．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．

答案：D 9．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，

则p是q的(

) A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，选A. 答案：A 10．(2018·广州测试)已知命题p：∃x＞0，ex－ax＜1成立，q：函数f(x)＝－(a－1)x在R上是减函数，则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：作出y＝ex与y＝ax＋1的图象，如图．当a＝1时，ex≥x＋1恒成立，故当a≤1时，ex－ax＜1不恒成立；当a＞1时，可知存在x∈(0，x0)，使得ex－ax＜1成立，故p成立，即p：a＞1，由函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，可得a－1＞1，得a＞2，即q：a＞2，故p推不出q，q可以推出p，p是q的必要不充分条件，选B.

答案：B 11．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的1面积为”的(

) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB的面积1111S△OAB＝×1×1＝，所以“k＝1”⇒“△OAB的面积为”；若△OAB的面积为，则k＝±1，222211所以“△OAB的面积为”⇒/ “k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分而不22必要条件，故选A. 答案：A 12．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

④“a<5”是“a<3”的必要条件．

其中真命题的序号是__________．

解析：①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a>b时a2>b2不一定成立，所以③错误，④中“a<5”得不到“a<3”，但“a<3”可得出“a<5”，“a<5”是“a<3”的必要条件，正确．

答案：②④

13．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的__________条件．

解析：若函数y＝2x＋m－1有零点，则m＜1；若函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m＜1. 答案：必要不充分

14．(2018·江西九校联考)下列判断错误的是__________．

①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题

2②命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x0－1＞0”

③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题

④“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题

解析：选项①、②中的命题显然正确；选项④中命题的否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，显然当m＝0时，命题是假命题，所以选项④正确；对于选项③中的命题，当c＝0时，命题是假命题，故填③. 答案：③

15．下列四个结论中正确的个数是__________．

①“x2＋x－2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件；

②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”；

π③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；

4④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0. 解析：对于①，由x2＋x－2＞0，解得x＜－2或x＞1，故“x2＋x－2＞0”是“x＞1”的必要不充分条件，故①错误；对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”，故②正确；

ππ对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，441故③错误；对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32，

log23∴log32与log23不互为相反数，故④错误．

答案：1