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命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真]

1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________语句叫做真命题，__________的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

图1-2-1 (2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有__________的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__________．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的__________条件，q是p的__________条件．

(2)如果p⇔q，那么p与q互为__________．

(3)如果pq，且qp，则p是q的__________条件．

4．集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．

1

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(

) π2．(教材改编)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是(

) ππA．若α≠4，则tan α≠1

B．若α＝4，则tan α≠1 ππC．若tan α≠1，则α≠4 D．若tan α≠1，则α＝4

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

)

A．充分不必要条件

C．充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(

) A．1

C.3

B.2 D.4 5．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(

) A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

) A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

)

2

A．真，假，真

C．真，真，假

B.假，假，真

D.假，假，假

an＋an＋1*[变式训练1]

原命题为“若＜an∈N，则{an}为递减数列”，关n，2于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真，真，真

C．真，真，假

B.假，假，真

D.假，假，假

(1)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(

) A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

(2)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[变式训练2]

(2016·武汉模拟)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(

)

A．必要不充分条件

C．充要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

[迁移探究1]

本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[迁移探究2]

本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

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