3.2.2 直线的两点式方程教案和学案内容

直线的两点式方程

教学目标：

1．掌握直线方程两点式、截距式的形式特点及适用范围，体会两点式与截距式方程的“对称美”。

2．让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点，体会直线方程各种形式的内在联系。

教学重点：直线方程的两点式与截距式。

教学难点：直线两点式方程推导过程的理解。

一、复习引入

1.

直线的点斜式方程：yy0k(xx0)，其中k为斜率，(x0,y0)为直线上的点。

2.

直线的斜截式方程：ykxb，其中k为斜率，b为纵截距。

注意：上述方程的前提都是直线的斜率存在。

问题：我们知道，两点确定一条直线，那么经过两个定点的直线的方程能否用公式直接写出来呢？

二、新课讲授

思考1：已知直线l经过两点P1(1,2)，P2(3,5)，求直线l的方程。

分析：由已知，直线l的斜率存在，设为k，则k利用点斜式，可得直线l的方程为：y2523，

3123(x1)，化简得3x2y10。

2思考2：已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，其中x1x2,y1y2，如何求直线l的方程？

当x1x2时，所求直线的斜率ky2y1，任取P1,P2中的一点，例如，取P1(x1,y1)，由点斜式x2x1方程，得yy1y2y1yy1xx1。

(xx1)，当y2y1时，可写为x2x1y2y1x2x1这就是经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，其中x1x2,y1y2的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。

问题：两点式的适用范围？

分析：适用于与两坐标轴不垂直的直线。

即：若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)中有x1x2或y1y2时，直线P1P2没有两点式方程。

当x1x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为xx1；当y1y2时，直线P1P2平行于x轴，直线方程为yy1。

练习：求经过下列两点的直线方程。

（1）P

1(2,1)，P2(0,3)；

（2）P1(2,1)，P2(2,4)；

（3）P1(2,1)，P2(3,1)。答案：（1）2xy30；

（2）x2；

（3）y1。

例1．已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，a0,b0，求直线l的方程。

解：将两点A(a,0)，B(0,b)的坐标代入两点式，得注：还可以用哪些方法求这条直线的方程？

y0xaxy，即1。

b00aab我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b。

方程xy1由直线l在两个坐标轴上的截距a和b确定，所以叫做直线的截距式方程。

ab问题：截距式的适用范围？

结论：截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，即：截距式不能表示与坐标轴平行及过原点的直线。

练习：

1.根据下列条件求直线的方程，并画出图形。

（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；

（2）在x轴上的截距是5，在y轴上的截距是6。

答案：（1）3x2y60；

（2）6x5y300。

2.已知直线2xy80,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 16 。

例2.已知三角形的三个顶点A(3,0)，B(3,3)，C(0,5)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

解：BC:y3x3，化简得8x3y150。

530332设BC边的中点为M，由中点坐标公式，M(,1)。

因为BC边上的中线过点A和M，所以直线方程为y0x3，化简得2x3y60。

31032x1x2y1y2,)。

22变式：求经过AB与AC边中点的直线方程。

中点坐标公式：以P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为端点的线段的中点坐标为(例3.求经过点A(3,4)，且在坐标轴上截距相等的直线a的方程。

分析：截距为0时，设直线方程为ykx；截距不为0时，设直线方程为答案：xy10或4x3y0。

练习：过点(3,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的条数为 3 。

课时小结：1.两点式及截距式的形式特点及适用范围，两种形式之间的联系； 2.中点坐标公式。

作业：《同步导练》

xy1。

aa