第四章 圆与方程（通用）全国优秀课堂实录

汤池中学

高

超

§4.1.2圆的一般方程

【知识与技能】

1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

3.培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

【过程与方法】

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及

分析解决问题的实际能力。

【情感态度价值观】

渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学

生创新，勇于探索。

【教学重点】

圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知

条件确定方程中的系数，D、E、F．

【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和运用 【教 具】多媒体

【教学过程】

<复习回顾>圆的标准方程及其圆心和半径

<探索研究> 思考1：若把圆的标准方程展开后，会得到怎样的形式？ 学生思考，师生总结：

把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2展开，

并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

王新敞王新敞记：D2a,E2b,Fa2b2r2得

x2y2DxEyF0 ①

思考2：任何一个形如：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

学生思考，师生总结：

把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得

D2E2D2E24F (x)(y) ②

224 (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？

总结： (1)当D＋E－4F＞0时，方程②表示以（-为半径的圆；

22E1D，-）为圆心,D2E24F222（2）当D2E24F0时，方程只有实数解x个点（-ED，-）; 22DE，y，即只表示一22（3）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

王新敞综上所述：方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆只有当王新敞D2E24F0时，它表示的曲线才是圆，

我们把方程：x2y2DxEyF0（D2E24F0）称为圆的一般方程

圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．

②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

<应用练习> 练习1：下列方程各表示什么图形?

(1)x2y20________(2)x2y22x4y60____(3)x2y22axb20________

学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式。②运用圆的一般方程的判断方法求解。

<例题分析> 例4：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞

解：设所求的圆的方程为：x2y2DxEyF0

∵O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

F0即DEF20

4D2EF200解此方程组，可得：D8,E6,F0

王新敞∴所求圆的方程为：x2y28x6y0

王新敞DE1224,3

rDE4F5；222王新敞得圆心坐标为（4，-3）. 或将x2y28x6y0左边配方化为圆的标准方程，(x4)2(y3)225,从而求出圆的半径r5，圆心坐标为(4,-3)

（学生讨论交流，归纳）得出使用待定系数法的一般步骤：

①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

例5、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上x1y24运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程2x12y24。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是（x0,y0）

由于B的坐标是（4,3）且M是线段AB的中点，所以

x4y3x0,y0, 22于是有x02x4,y02y3①

因为点A在圆x1y24上运动，所以点A的坐标满足方程x1y24, 22即: x01y024 ②

把①代入②，得

233x-y2x412y34,整理，得1

22222233所以，点M的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆

22432yBM1234A–4–3–2–11O–1–2–3x

22模仿练习：2、已知点P是圆x+y=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标（12，0），当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？（模仿例5）

【课堂小结】

1．对方程x2y2DxEyF0的讨论(什么时候可以表示圆) 2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程

4．用相关动点法求与圆有关的点的轨迹。

【课后作业】习题4.1第2、3、6题

【教学板书】

【教学反思】

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