3.4 生活中的优化问题举例教学内容分析

函数与导数

回归教材：

1．函数的定义域和值域

(1)求函数定义域的类型和相应方法

①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；

②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．

(2)常见函数的值域

①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；

4ac－b24ac－b2②二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，＋∞，当a<0时，值域为4a；

2k③反比例函数y＝x(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．

2．函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．

3．关于函数周期性、对称性的结论

(1)函数的周期性

①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；

②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；

③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．

(2)函数图象的对称性

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，

即f(x)＝f(2a－x)，

则f(x)的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，

即f(x)＝－f(2a－x)，

则f(x)的图象关于点(a,0)对称；

a＋b③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，

则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．

4．函数的单调性

函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．

①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，

f(x1那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

f(x1(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．

5．函数图象的基本变换

(1)平移变换

y＝f(x)h>0，右移y＝f(x－h)，

y＝f(x)k>0，上移y＝f(x)＋k. (2)伸缩变换

y＝f(x)0<ω<1，伸y＝f(ωx)，

y＝f(x)0

(3)对称变换

――→――→――→y＝f(x)x轴y＝－f(x)， y＝f(x)y轴y＝f(－x)， y＝f(x)原点y＝－f(－x)．

6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质

(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；

y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．

(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；

当0

7．函数与方程

(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．

(2)确定函数零点的三种常用方法

①解方程判定法：解方程f(x)＝0；

②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点；

③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．

8．导数的几何意义

(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．

9．利用导数研究函数的单调性

(1)求可导函数单调区间的一般步骤

①求函数f(x)的定义域；

②求导函数f′(x)；

③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．

(2)由函数的单调性求参数的取值范围

①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；

②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；

③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．

10．利用导数研究函数的极值与最值

(1)求函数的极值的一般步骤

①确定函数的定义域；

②解方程f′(x)＝0；

③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：

若左正右负，则x0为极大值点；

若左负右正，则x0为极小值点；

若不变号，则x0不是极值点．

(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤

①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；

②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

易错提醒

1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．

2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．

3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视字母a的取值讨论，忽视ax

>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．

6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．

7．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能

漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)>0(<0)的解集为(a，b)．

8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．

回扣训练：

1．若曲线f(x)＝x4－4x在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为( ) A．(－1,2)

B．(1，－3)

C．(1,0)

D．(1,5) 答案

B 解析

对f(x)＝x4－4x，求导得f′(x)＝4x3－4，由在点A处的切线平行于x轴，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即点A的坐标为(1，－3)．

x＋1，x≥0，2．若函数f(x)＝f(x＋2则f(－3)的值为( ) A．5

B．－1

C．－7

D．2 答案

D 解析

依题意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1) ＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故选D. 3．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为( )

答案

C 解析

根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f′(x)＝0的点可以排除B，故选C. 4．(2016·全国Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )

答案

D 解析

f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；当x>0时，f(x)＝2x2111－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈4时，f′(x)<4×4－e0＝0，因此f(x)在4上单调递减，排除C，故选D. 5．函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( ) 1113A.，0

B.4

C.2

D.4

答案

C 114解析

由题意可知，f(0)＝－2<0，f2＝－1>0，f4＝e－2<0，

1根据函数零点的判定定理知，零点所在的区间为2，故选C. 6．已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f(log2m)

B.4≤m≤2

C．2

答案

A 解析

因为函数f(x)是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f(x)在[－2,2]上单调递增．

由f(log2m)

m>0，m>0，可得m＋2>0，即m＋2>0，

1解得4≤m<2. 1综上可知，m的取值范围是4≤m<2. 17．若函数f(x)＝x2－2ln x＋1在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( ) 3A．[1，＋∞)

B.2

C．[1,2)

答案

B 1解析

因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2x，

3D.，2

D．2≤m≤4

1由f′(x)＝0，得x＝2.

3解得1≤k<2，故选B. 8．(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)111＝－f(x)；当x>2时，f2＝f2，则f(6)等于( ) A．－2

B．－1

C．0

D．2 答案

D 111解析

当x>2时，f2＝f2，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1且当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D. 9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( ) A．11或18

答案

C 解析

∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，

又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，

1＋a＋b＋a2＝10，a＝－3，a＝4，即3＋2a＋b＝0，解得b＝3或b＝－11.

a＝－3，而当b＝3时，函数在x＝1处无极值，故舍去．

∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18. 10．已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，当x>0时，有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0的解集为( ) A．(－∞，－2 016)

B．(－2 016，－2 012) C．(－∞，－2 018)

D．(－2 016,0) 答案

A 解析

由题意观察联想可设g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，结合条件x>0,2f(x)＋xf′(x)>x2，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

又f(x)为R上的奇函数，所以g(x)为奇函数，

所以g(x)在(－∞，0)上为增函数．

由(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0，

可得(x＋2 018)2f(x＋2 018)<4f(2)，

即g(x＋2 018)

B．11

C．18

D．17或18

所以x＋2 018<2，故x<－2 016，故选A. 11．已知曲线C：y＝f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．

27答案

8

解析

设切点坐标为(t，t3－at＋a)．

由题意知，f′(x)＝3x2－a，

切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a，①

所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．②

将点(1,0)代入②式，得

3－(t－at＋a)＝(3t－a)(1－t)，解得t＝0或t＝2. 32327分别将t＝0和t＝2代入①式，得k＝－a和k＝4－a，

27由题意得它们互为相反数，即a＝8. 12．某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律1近似满足表达式f(x)＝x，x>1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时) 答案

4 解析

因为0≤x≤1，所以－2≤x－2≤－1，

所以52≤5x2≤51，而52>0.02，

－－－－所以0≤x≤1不合题意，

31x111又由x>1，得5·3≤50，得3x≤30，

所以x≥4，故至少要过4小时后才能开车．

13．偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是________．

答案

3

解析

由f(1－x)＝f(1＋x)可知，函数关于x＝1对称，因为f(x)是偶函数，所以f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期是2，由y＝f(x)＝，得(x－1)2＋y2＝1(y≥0，x∈[0,1])，

作出函数y＝f(x)和直线y＝k(x＋1)的图象，

153要使直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则由图象可知，150)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．

2答案

，＋∞

解析

f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，

由f′(x)＝0，得x＝±a，

当－a

当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数单调递增．

∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，

22解得a>2.∴a的取值范围是，＋∞. x＋a15．已知函数f(x)＝ex. (1)若f(x)在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)若a＝0，x0<1，设直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0处的切线，求证：f(x)≤g(x)．

x－(1－a(1)解

易得f′(x)＝－ex，

由已知f′(x)≥0对x∈(－∞，2)恒成立，

故x≤1－a对x∈(－∞，2)恒成立，

∴1－a≥2，∴a≤－1. 故实数a的取值范围为(－∞，－1]．

x(2)证明

若a＝0，则f(x)＝ex. 函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为

y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．

令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R，

则h′(x)＝f′(x)－f′(x0) 1－x＝ex－1－x0 EMBED Equation.DSMT4 ＝－(1－x0)ex，x∈R，

－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，

(1－x EMBED Equation.DSMT4 －(1 EMBED Equation.DSMT4 . 设φ(x)＝(1－x)则φ′(x)＝－∴φ(x)在R上单调递减，又φ(x0)＝0，

∴当x0，当x>x0时，φ(x)<0，

∴当x0，当x>x0时，h′(x)<0，

∴h(x)在区间(－∞，x0)上为增函数，在区间(x0，＋∞)上为减函数，

∴当x∈R时，h(x)≤h(x0)＝0，

∴f(x)≤g(x)．

x＋116．已知函数f(x)＝ex(e为自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

1(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋ex，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．

x解

(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－ex，

∴当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，

单调递减区间为(0，＋∞)．

(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，

则2[φ(x)]min<[φ(x)]max. x2＋(1－t∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e＝ex，

－x－x2＋(1＋t(x－t∴φ′(x)＝ex＝－ex. ①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，

e∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－2>1；

②当t≤0时，φ′(x)≥0，φ(x)在[0,1]上单调递增，

∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；

③当0

若x∈(t,1]，φ′(x)≥0，φ(x)在(t,1]上单调递增，

∴2φ(t)

t＋13－t即2·et

4t＋123－t3故e≤2·et≤2，而e≤e≤e，

∴不等式(*)无解．

e综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪，＋∞，使得命题成立．