3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优质课教案推荐

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

【教学目标】

1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；

2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量. 【重点】

空间向量的基本定理及其推论.

【难点】

空间向量基本定理唯一性的理解.

【创设情景】

平面向量基本定理的内容及其理解：

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，

使a1e12e2.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第

92 页～第 94 页）

1.空间向量的分向量的概念：

如图.设i ,j ,k是空间三个两两垂直的向量,且有公共起

点O.对于空间任意一个向量pOP,设点Q为点P在

e2ae1i ,j所确定的平面上的正投影.由平面向量基本定理可知, 在OQ,k所确定的平面上,存在实数z,使得

OPOQkz. 而在i ,j所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得

OQxi yj. ∴OPxi yjzk. 由此可知,如果i ,j ,k是空间三个两两垂直的向量,那么,对于空间任一向量p,存在一个有序实数组{x,y,z},使得

1

pxi yjzk. 我们称xi,

yj,zk为向量p在i ,j ,k上的分向量.

探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量a,b,c代替两两垂直的微向量i ,j ,k，能得出类似的结论吗？

2.空间向量的基本定理及基底的概念：

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzc.

由此可知，

若三向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是

{p|pxaybzc,x,y,zR}.

我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ,j ,k}

表示. 3.空间向量的坐标的定义：

设e1,e2,e3为空间向量的一个单位正交基底,以公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于任意一个空间向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量OP=p.由空间向量基本定理,存在有序实数组{x,y,z},使得

pxe1

ye2ze3. 我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p(x,y,z).

【基础练习】

【典型例题】

例1 如图，在正方体OADBCA/D/B/中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量OA,OB,OC表示OD和OM

【审题要津】

解：OD/OAOBOC；

OMOAOBOC. O C B/ A/ D/ 131313M B E A D

2

【方法总结】

例2

如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG

【审题要津】

解：OGOMMG

O2OMMN312OA(ONOM)231211OA[(OBOC)OA]

2322111OA(OBOC)OA233111OAOBOC633

∴OG【方法总结】

MGCNAB111OAOBOC

6331．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( OB-OC)·(OB+OC－2OA)=0，则ABC是（

）

A．以AB为底边的等腰三角形

B．以BC为底边的等腰三角形

C．以AB为斜边的直角三角形

D．以BC为斜边的直角三角形

2．P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的（

）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

BD＝0，则四边形ABCD是（

）

3．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·A．

矩形

B．

菱形

C．直角梯形

D．等腰梯形

4．已知|p|22，|q|3，p、q的夹角为45，则以a5p2q，bp3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为（

）

A．15

B．15

C．

14

D．16

5．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(AB|AB|AC|AC|)，

3

[0,)则P的轨迹一定通过△ABC的(

)

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

6．设平面向量a=(－2，1)，b=(λ，-1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（

）

A．(,2)(2,)

B．(2,)

C．(,)

D．(,)

7．若a2,3,121212b4,7,ac0,则c在b方向上的投影为

。

8．向量OA(k,1),OB(4,5),OC(k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝

．

9．在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC|=2,则OC= 10．在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA(OBOC)的最小值是__________。

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