小结第一课时教学实录

《空间向量与立体几何小结》教学设计

一.教学目标

（一）知识与技能

1.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题；

2.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （二）过程与方法

1.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程；

2.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程．

（三）情感态度与价值观

1.通过理解并用空间向量解决平行与垂直，用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；

2.培养学生向量的代数运算推理能力；

3.培养学生理解、运用知识的能力．

二.教学重、难点

重点：用空间向量解决平行与垂直问题及求线线角、线面角、二面角的余弦值．

难点：用空间向量求二面角的余弦值．

三.教学方法：启发式教学法、练习法和讲授法．

四.教学用具：电脑、投影仪．

五.教学设计

（一）新课导入

1.提问学生：

（1）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？

（2）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？

（二）新课学习

1.利用向量向量解决平行与垂直问题. （1）利用向量向量解决平行问题

设直线l、m的方向向量为a，b，平面、的法向量分别为u、v，则

线线平行l//ma//bakb

线面平行l//auau0

面面平行//u//vukv

（2）利用向量向量解决垂直问题

设直线l、m的方向向量为a，b，平面、的法向量分别为u、v，则

线线垂直lmabab0

线面垂直la//uaku

面面垂直uvuv0

1

2.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意ABCDABCD两点，则l1,l2所成的角的余弦值为. （2）设AB是平面的斜线，且B,BC是斜线AB在平面内的射影，则ABBCABBC斜线AB与平面所成的角的余弦值为.设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角的余弦值为ABnABn. （3）设n1,n2是二面角l的面,的法向量，则平面角或补角的余弦值. n1n2n1n2就是二面角的例1：正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值. 分析：启发学生找出三条两两垂直的直线DA，DC，DD1，建立空间直角坐标系D-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果. 解：不妨设正方体的棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则

A2,0,0,C0,2,0,E1,0,2,F1,1,2，

AE1,0,2,CF1,1,2,

2

cosAE,CFAECFAECF35630,

1030.

10异面直线AE与CF所成角的余弦值为规律方法

在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别

例2：正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 分析：求角时有两种思路：一是利用正三棱柱的性质，由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结证明C1AM是AC1与平面ABB1A1所成的角；C1M，另一种是建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．利用平面ABB1A1的法向量nx,y,z求解．

解：法一

设M为A1B1的中点，由正三棱柱的性质，

可得C1M平面ABB1A1，

C1AM是AC1与平面ABB1A1所成的角，

易求得AM33a,C1Ma,

223,

3tanC1AMC1AM30o.

法二

如图建立空间直角坐标系，则

3aaA0,0,0,B0,a,0,A10,0,2a,C1,,2a,22

3

3aa,

AB0,a,0,AA10,0,2a,AC1,,2a22设侧面ABB1A1的一个法向量nx1,y1,z1,

ay10nAB0,y1z10,

,即2az10nAA10不妨取x11,则n1,0,0,

cosAC1,nAC1nAC1n3a21,

23aAC1与侧面ABB1A1所成的角为30o.

规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：

先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．

例3：如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1

的中点，求二面角AA1DB的余弦值．

解：如图所示，取BC中点O，连结AO．因为ABC是正三角形，所以

AOBC,因为在正三棱柱ABCA1B1C1，

平面ABC平面BCC1B1，

所以AO平面BCC1B1．

如图建立空间直角坐标系，则

B1,0,0,A0,0,3,A10,2,3,D1,1,0,

设侧面A1AD的一个法向量nx,y,z,

而AD1,1,3,AA10,2,0,

xy3z0y0nAD0,得,,

2y0x3znAA10

4 

令z1,得n3,0,1,

同理可求得平面A1BD的一个法向量m1,2,3,

cosm,nmnmn232226,

46.

4求二面角AA1DB的余弦值为题后反思 几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点．而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性．

引导学生归纳：

用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：

（1）当法向量n1与n2的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的大小；

（2）当法向量n1与n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的补角n1,n2.

课堂练习：

1.四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，

PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；

(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．

2.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面

边长为a，侧棱长为2a，M为A1B1

的中点，

求BC1与平面AMC1所成角的正弦值.

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3.若PA平面ABC，ACBC,PAAC1,

BC2,求二面角APBC的余弦值.

（三）小结

化归与转化思想解决立体几何问题

空间向量的具体应用主要体现为两种方法——向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想．

（四）课外作业

1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3, AA1=6,M为侧棱CC1上一点, AMBA1．

（1）求证: AM平面A1BC；

ACB（2）求二面角B－AM－C的大小；

M

C

A B

2.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝2AB. 2(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

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