1.1.2 简单组合体的结构特征教案和课堂实录

第章

立体几何

第一节

空间几何体的结构及其三视图和直观图

[考纲传真]

(教师用书独具)1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

(对应学生用书第104页) [基础知识填充] 1．简单多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；

(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．旋转体的形成

几何体

圆柱

圆锥

圆台

球

3.三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；重叠的线只画一条，

旋转图形

矩形

直角三角形

直角梯形

半圆

旋转轴

任一边所在的直线

任一直角边所在的直线

垂直于底边的腰所在的直线

直径所在的直线

看不到的线画虚线．

4．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直线图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(

) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

) (3)菱形的直观图仍是菱形．(

) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(

) [答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(

) A．圆柱

C．四面体

B．圆锥

D．三棱柱

A

[由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．] 3．(教材改编)如图7-1-1，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(

)

图7-1-1 A．棱台

B．四棱柱

C．五棱柱

D．简单组合体

C

[由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．] 4．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图7-1-2所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(

)

图7-1-2 A．32

C．22 B．23 D．2 B

[在正方体中还原该四棱锥，如图所示，

可知SD为该四棱锥的最长棱．

由三视图可知正方体的棱长为2，

故SD＝22＋22＋22＝23. 故选B．] 5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．

2π

[由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，

所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]

(对应学生用书第105页)

(1)以下命题：

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 (2)给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．

其中不正确的命题为________.

(1)B

(2)①②③

[(1)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．

空间几何体的结构特征

(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．

综上，命题①②③不正确．] [规律方法]

空间几何体概念辨析题的常用方法

(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定. (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只是举出一个反例即可. [跟踪训练]

给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

③存在每个面都是直角三角形的四面体；

④棱台的侧棱延长后交于一点．

其中正确命题的序号是________．

②③④

[①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．]

◎角度1

由空间几何体的直观图判断三视图

(2017·东北四市联考)如图7-1-3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P-A1B1A的侧视图为(

) 空间几何体的三视图

图7-1-3

D

[如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P-A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D．] ◎角度2

已知三视图判定几何体

(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图7-1-4所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

)

图7-1-4 A．10 C．14 B．12 D．16

B

[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形1的面积之和为2×2×(2＋4)×2＝12.故选B．] [规律方法]

1.已知几何体，识别三视图的技巧

已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚.

2.已知三视图，判断几何体的技巧

1对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. 2明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图. 3遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 易错警示：对于简单组合体或切割体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同. [跟踪训练]

(1)(2018·福州质检)如图7-1-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是(

)

图7-1-5 A．2

B．3

C．4

D．5 (2)(2018·北京东城区综合练习(二)) 日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的圆盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．下图7－1－6是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日晷的侧视图可能为(

)

图7－1－6

(1)C

(2)D

[由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，由图易知四个侧面都是直角三角形，故选C．

(2)因为相机镜头正对的方向为正方向，所以侧视图中圆盘为椭圆，指针上半部分为实线，下半部分为虚线，可能是D，故选D．]

已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(

) 32326262A．4a

B．8a

C．8a

D．16a

D

[如图①②所示的实际图形和直观图，

空间几何体的直观图

13由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝2OC＝4a，

在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，

26则C′D′＝2O′C′＝8a，

1166所以S△A′B′C′＝2A′B′·C′D′＝2×a×8a＝16a2.] [规律方法]

1.斜二测画法原图与直观图中的“三变”与“三不变”

坐标轴的夹角改变，“三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.平行性不改变，“三不变”与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.2＝直观图4S原图形.

2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S

[跟踪训练]

(2017·邯郸三次联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图7-1-7所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.

图7-1-7 22＋2

[如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.

①

②

在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，

2∴BE＝2. 又四边形AECD为矩形，

AD＝EC＝1，

2∴BC＝BE＋EC＝2＋1. 由此还原为原图形如图②所示，

是直角梯形A′B′C′D′. 在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′

2＝2＋1，A′B′＝2，

1∴这块菜地的面积S＝2(A′D′＋B′C′)·A′B′

122＝2×1＋1＋×2＝2＋2.] 2