1.2.1 充要条件课时教案

§1.2

充分条件与必要条件

学习目标

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．

知识点一

充分条件与必要条件

(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．

知识点二

充要条件

思考

在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

答案

因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．

梳理

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件[来源学科网ZXXK]

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√) (2)若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)

(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)

类型一

充分条件、必要条件、充要条件的判定

例1

下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．

(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；

(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；

(4)p：a＞b，q：ac＞bc. 考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

解

(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，

而对角线相等的四边形不一定是矩形，

∴q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．

(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．

(4)∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件．

反思与感悟

充分条件、必要条件的两种判断方法

(1)定义法：

①确定谁是条件，谁是结论；

②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；

③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．

(2)命题判断法：

①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．

跟踪训练1

指出下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0

6(2)p：|x－2|<3，q：<－1；

x－5(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；

α>2，α＋β>4，(4)p：q：

αβ>4.β>2，

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

解

(1)当a＝0时，1>0满足题意；

2Δ＝a－4a<0，当a≠0时，由可得00，

故p是q的必要不充分条件．

(2)易知p：－1

所以p是q的充要条件．

(3)因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．

α>2，(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，

β>2，α＋β>4，α>2，α＋β>4，有即p⇒q.但⇏

αβ>4αβ>4，β>2，α＋β＝6>4，比如，当α＝1，β＝5时，而α<2，

αβ＝5>4，

所以q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．

类型二

充要条件的探求与证明

命题角度1

充要条件的探求

例2

求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？

考点

充要条件的概念及判断

题点

寻求充要条件

1解

(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求．

2(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1. Δ≥0，2①方程ax＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即1x1x2<0，<0，

a≤1，a

∴a<0. Δ≥0，②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是x1＋x2<0，x1x2>0，

－2<0，即a1a>0，a≤1，

∴0

探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．

跟踪训练2

已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．

考点

充要条件的概念及判断

题点

寻求充要条件

解

是充要条件．

(充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n. a1＝S1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 又a1＝3适合上式，

∴an＝2n＋1(n∈N*)，

又∵an＋1－an＝2(常数)，

∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．

故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件．

(必要性)∵{an}为等差数列，

则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，

故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件．

综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件．

命题角度2

充要条件的证明

例3

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的证明

证明

充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)，

∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，

∴原方程一定有两不等实根，

c不妨设为x1，x2，则x1x2＝＜0，

a∴原方程的两根异号，

即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)，

∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

不妨设为x1，x2，

c∴由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0，

a此时Δ＝b2－4ac＞0，满足原方程有两个不等实根．

综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 反思与感悟

对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．

跟踪训练3

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k＜－2.

考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的证明

证明

必要性：

若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

Δ＝2k－1－4k≥0，x1－1＋x2－1＞0，x1－1x2－1＞0，1k≤，4222

k≤4，即x＋x－2＞0，xx－x＋x＋1＞0.1212121

即－2k－1－2＞0，k＋2k－1＋1＞0，解得k＜－2. 充分性：

当k＜－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k＞0. 设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)＞0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1＞0，

∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1. 综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k＜－2. 类型三

利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围) 例4

设命题p：x(x－3)＜0，命题q：2x－3＜m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的范围

答案

[3，＋∞) 解析

p：x(x－3)＜0，即0＜x＜3；

m＋3q：2x－3＜m，即x＜. 2由题意知p⇒q，q⇏p，

则在数轴上表示不等式如图所示，

则m＋3≥3，解得m≥3，

2即实数m的取值范围为[3，＋∞)．

反思与感悟

在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围．

根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤

(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；

(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则M＝N；

(3)根据集合的关系列不等式(组)；

(4)求出参数的范围．

2x跟踪训练4

设A＝yy＝2x＋1，x∈R

1，B＝yy＝x＋m，x∈[－1，1]，记命题p：“y∈A”，3

命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的范围

12答案

3，3

11m－，m＋，

解析

由题意知A＝(0,1)，B＝33依题意，得BA，

故1m＋3<1，

1m－>0，3

12∴

1．“x＞0”是“x2＋x＞0”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

A 解析

由x2＋x＞0⇔x＜－1或x＞0，由此判断A符合要求．

2．若a，b，c是实数，则“ac＜0”是“不等式ax2＋bx＋c＞0有解”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

B 解析

由ac＜0，得方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，

则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数解，

此时不等式ax2＋bx＋c＞0有解；

反过来，由不等式ax2＋bx＋c＞0有解不能得出ac＜0，

例如，当a＝b＝c＝1时，

不等式ax2＋bx＋c＞0，

13x＋2＋＞0有解，

即x2＋x＋1＝24此时ac＝1＞0.故选B. 3．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(

)A．0＜a＜1

1C．0＜a＜

2B．0≤a≤1 D．a≥1或a≤0 [来源学*科*网Z*X*X*K]

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

B 解析

当关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立时，应有Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a≤1.

4．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(用区间表示) 考点

充分条件的概念及判断

题点

由充分条件求取值范围

答案

[4，＋∞) 解析

因为p为q的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞，m)，

得m≥4. 5．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则q是p的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”) 考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

充分不必要

解析

由已知，得p：x＜－1或x＞1，则q是p的充分不必要条件．

充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法

(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．

(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．

(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断. 课堂训练：

一、选择题

1．“x为无理数”是“x2为无理数”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

B 解析

当x2为无理数时，x为无理数．

2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

B B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是(

) A．x＞3

B．x＜3

C．x＞4

D．x＜4 考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

A 4．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝A．充分不必要条件

C．充要条件

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

A 解析

因为sin 60°＝33，故p⇒q，但当sin A＝时，A＝60°或120°. 223，则p是q的(

) 2B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5．已知p：x2＋2x－3＜0，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是(

) A．(4，＋∞)

C．[4，＋∞)

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

充分、必要条件求参数的范围

答案

C 解析

由命题p：－3＜x＜1，因为p⇒q，

1－a≤－3，a≥4，所以即所以a≥4. 1＋a≥1，a≥0，B．(－∞，0] D．(－∞，0)

6．下列四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(

) A．a≥b＋1

C．a2＞b2

考点

充分、必要条件的判断

题点

充分不必要条件的判断

答案

A 解析

由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5⇏4≥3.5＋1，故a＞b⇏a≥b＋1，故A正确．

7．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别a1b1c1是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的(

) a2b2c2A．充分不必要条件

B．a＞b－1 D．a3＞b3

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

D a1b1c1解析

若＝＝<0，则M≠N，

a2b2c2a1b1c1即＝＝⇏M＝N；反之，若M＝N＝∅，

a2b2c2即两个一元二次不等式的解集为空集时，

只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)，

而与系数之比无关．

8．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是(

) 1A．0

21C．

2考点

充要条件的概念及判断

题点

寻求充要条件

答案

B log2x，x≥1，解析

f(x)＝

－log2x，01

f(x)的图象在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．

若f(x)在(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数，

m<1，则⇔01

二、填空题

9．若a＝(1,2x)，b＝(4，－x)，则“a与b的夹角为锐角”是“0≤x＜2”的_________条件．

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

既不充分也不必要

10．已知p：x2＋x－2＞0，q：x＞m.若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是________．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的范围

答案

[1，＋∞)

解析

由x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2. ∵q是p的充分不必要条件，∴m≥1. 11．有下列命题：

①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分条件；

②“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为R”的充要条件；

③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；

④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．

其中真命题的序号为________．

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

答案

①④

解析

①当x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；

②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；

a2③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线11平行”的充要条件，故③为假命题；

④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．

综上可知，真命题是①④. 三、解答题

12．判断下列各题中，p是q的什么条件．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；[来源学*科*网]

(4)p：圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2. 考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

解

(1)∵|x|＝|y|⇏x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵△ABC是直角三角形⇏△ABC是等腰三角形，

△ABC是等腰三角形⇏△ABC是直角三角形，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

∴p是q的必要不充分条件．

(4)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，

则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，

即r＝|c|，

a2＋b2∴c2＝(a2＋b2)r2；

反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，

则|c|22＝r成立，

a＋b说明圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，

即圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件．

13．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的范围

解

令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0} 1，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0} x≤－或x≥2＝x2[来源学科网]

＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．

由已知p⇒q且q⇏p，得MN，

11a－2>－2，a－2≥－2，∴或

a<2a≤2，333解得≤a<2或

四、探究与拓展

14．下列各题中，p是q的充要条件的是________．(填序号) ①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；f－x②p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数；

fx③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；

④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 考点

充分、必要条件的判断

题点

充要条件的判断

答案

①④

解析

对于①，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔q：m＜－2或m＞6⇔p；

对于②，当f(x)＝0时，q⇏p；

π对于③，若α，β＝kπ＋(k∈Z)，则有cos α＝cos β，但没有tan α＝tan β，p⇏q；

2对于④，p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UB⊆∁UA. 15．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的取值范围

解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 1－m≤1＋m，则1－m≥－2，

∴0≤m≤3.1＋m≤10，[来源学#科#网]

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．