1.1.2 四种命题教学设计案例

四种命题

学什

么

怎

么

考

1.对本节内容的考查形式多为选择题或填空题．

2.对命题及其关系的考查主要有以下两种方式：

(1)考查简单命题的真假判断，其中结合命题的四种形式、充要条件以及复合命题、全称命题等组成的混合选项问题是命题1.理解命题的概念．

2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 的重点．

(2)考查命题的四种形式，以原命题的否命题、逆否命题的形式为考查重点．

3.对充要条件的考查，主要从以下三个方面命题：

(1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，多以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主

(2)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题．

(3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值范围．

1．命题

在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q. 3．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？

1．给出命题：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(

) A．0个

C．2个

2．下列命题：

①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．

其中是真命题的是(

) A．①②

C．①③

B．②③

D．①②③

B．1个

D．3个

3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

π4．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(

) 4πA．若α≠，则tan α≠1

4πC．若tan α≠1，则α≠

4πB．若α＝，则tan α≠1 4πD．若tan α≠1，则α＝

45．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题应该是(

) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0无实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0 2．设集合M＝{x|0

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．(2013·日照模拟)已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为(

) A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行

B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行

C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行

D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行

4．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

5．(2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

6．(2013·潍坊模拟)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(

) A．a≥4

C．a≥5

B．a≤4

D．a≤5 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·南京模拟)有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2<4，则－2

其中真命题的序号是________．

8．(2013·石家庄质检)下列四个命题：

①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；

②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；

1③在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的充分不必要条件；

2④“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命题的序号

是________(把真命题的序号都填上)．

9．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．

332y＝x－x11.已知集合A＝y＋1，x∈4，2，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x2

∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

12．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．

命题及其关系

答

案

1．D

2.B

3.A

4.C

5.A

6.C 7．②③

8.①②

9.(－∞，0] 10．解：因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅. 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，

3则U＝{m|m≤－1或m≥}．

2假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有

m∈U，x1＋x2≥0，x1x2≥0

m∈U，⇒4m≥0，2m＋6≥0

3⇒m≥. 23又集合{m|m≥}关于全集U的补集是{m|m≤－1}，

2所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．

337x－2＋，

11．解：y＝x2－x＋1＝416237，2，∴≤y≤2，

∵x∈4167∴A＝y|16≤y≤2. 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

7∴A⊆B，∴1－m2≤，

1633解得m≥或m≤－，

44故实数m的取值范围是

－∞，－3∪3，＋∞. 4412．解：∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，

∴m≠0. 又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，

Δ1＝161－m≥0，∴

22Δ＝16m－44m－4m－5≥0，2

5－，1. 解得m∈4∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，

∴4m∈Z，4m－4m－5∈Z.24∈Z，m

∴m为4的约数．

5－，1，

又∵m∈4∴m＝－1或1. 当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；

而当m＝1时，两方程的根均为整数，

∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.