习题1.4板书设计及意图

逻辑问题习题课

一、考情分析

集合是高考数学考查热点内容,难度中等或中等以下.判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定,充分条件与必要条件的判断,是考查的主要形式,常与其他知识交汇考查,其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围,是本节中的一个难点．

二、经验分享

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；

(2)注意下面两种叙述方式的区别：①p是q的充分不必要条件；②p的充分不必要条件是q. (3)充分条件、必要条件的三种判定方法

①定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题．

②集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

(4)充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

②要注意区间端点值的检验．

(5)“p∨q”“p∧q”“

p”等形式命题真假的判断步骤

①确定命题的构成形式；

②判断其中命题p、q的真假；

③确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

(6)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x＝x0,使p(x0)成立．

(7)对全(特)称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．

②对原命题的结论进行否定．

(8)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决．

三、知识拓展

1．从集合角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为

(1)若AB,则p是q的充分条件；

(2)若AB,则p是q的必要条件；

(3)若A＝B,则p是q的充要条件；

(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；

2．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q：p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真；

(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假；

(3)p：与p的真假相反,即一真一假,真假相反．. 3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,“否命题”是对原命题既否定其条件,又否定其结论,而“命题的否定”是否定原命题,只否定命题的结论．

四、题型分析

(一)与充分条件、必要条件有关的参数问题

充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若p则q”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．

【例1】设集合A{y|yx22x1,0x3},集合B{x|x2(2m1)xm(m1)0}.已知命题p:xA,命题q:xB,且命题p是命题q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 【分析】先化简给定集合,再利用p是q的必要不充分条件

解题

【解析】由已知得A{y|0y4},B{x|m1xm}. ∵p是q的必要不充分条件,∴BA.则有m10.∴1m4,故m的取值范围为[1,4]. m4【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．

【小试牛刀】【2019届河北辛集8月月考】已知f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x||f（x+t）﹣1|＜2}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（

）

A．

t≤0 B．

t≥0 C．

t≤﹣3 D．

t≥﹣3 【答案】C

(二)与逻辑联接词有关的参数问题

逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围．

【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数f(x)13命题q:函mxx2x在区间(1,2)上单调递增；3数C的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“p(q)”为真命题,“(p)q”也为真命题,求实数m的取值范围. 【分析】先确定pq真值相同．再根据p,q同真时或同假确定实数m的取值范围.

2【解析】若p为真命题,f(x)mx2x10在x(1,2)上恒成立,m2(1)1, xxx

1212155,∴．若(1)21mq为真命题,则当x1x444444时,g(x)xm11,mx,∵xx112413,当且仅当x1x1x1x1∵x1时取等号,∴m3．

由已知可得若p为真命题,则q也为真命题；若p为假命题,则q也为假命题,当p,q同真时,5同假时m无解,故m,3．

45m3,4【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围

【小试牛刀】【2019届一轮复习讲练测】已知，命题函数的值域为，命题

函数A．

【答案】D 在区间 B．

内单调递增．若 C．

是真命题，则实数的取值范围是（ ）

D．

(三)与全称命题、特称命题真假有关的参数问题

全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．

2【例3】若命题“x0R,使得x0mx02m+50”为假命题,则实数m的取值范围是 （ ）

（A）[10,6] （B）(6,2] （C）[2,10] （D）(2,10)

2【分析】命题“x0R,使得x0mx02m+50”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．

2【解析】由命题“x0R,使得x0mx02m+50”为假命题,则命题“xR使得．

m24(2m5)0,2m10．故选（C）x2mx2m+5”为真命题．所以0【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．

【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知mR,设p:x1 ， 1,x22x4m28m20成立；q:x1 ， 2,log1x2mx11成立,如果“pq”2为真,“pq”为假,求m的取值范围. （四）与全称量词、特称量词有关的参数问题

全称量词“”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．

22【例4】已知命题p：“x[1,2],xa0”,命题q：“xR,x2ax2a0”．

若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为（ ）

A．a2或a1 B．a2或1a2

C．a1 D．2a1

【分析】若命题“p且q”是真命题,则命题p,q都是真命题,首先将命题p,q对应的参数范围求出来,求交集即可．

【点评】命题p是恒成立问题,命题q是有解问题．

【小试牛刀】【2018云南省红河州统一检测】若命题“题，则的取值范（ ）

A．

【答案】A 【解析】，不妨设：

由于是五、迁移运用

1．【山东省日照市2018届高三5月校际联考】已知则实数a的取值范围是

A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D．

【答案】C 【解析】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，

，解得：，

.若“”是真命题，，知，从而，即，故选

，为假命题，等价于

为真命题

B．

C．

D．

，”为假命若命题p为真命题，则：

若命题q为真命题，则：，即，

，表示为区间形式即. 综上可得，实数a的取值范围是本题选择C选项. 2．【山东省乐陵2019届高三一轮检测】已知P：件，则a的取值范围为

A．

【答案】B B．

C．

或，q：，且q是p的充分条 D．

或

3．【河北省武邑中学高三第四次模拟】设分条件，则实数的取值范围为（ ）

A．

B．

C．

D．

，，若是的必要不充【答案】D 【解析】

对应的集合为故或，解得，对应的集合为或，故选D．

有实，

4．【峨眉山市第七教育发展联盟2018届高考适应性考试】己知命题：

“关于的方程根”，若非为真命题的充分不必要条件为A．

【答案】A 【解析】由命题有实数根，则

则

所以非时

B．

C．

，则实数的取值范围是( ）

D．

是非为真命题的充分不必要条件，所以

，则m的取值范围为，所以选A

5．【衡水金卷.2018年高三调研卷模拟二】已知，命题函数的值域为，命题函数A．

【答案】D 在区间 B．

内单调递增.若 C．

D．

是真命题，则实数的取值范围是（ ）

6．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】记命题为“点满足（）”，记命题为“满足”，若是的充分不必要条件，则实数的最大值为_________．

【答案】【解析】

依题意可知，以原点为圆心，为半径的圆完全在由不等式组

所围成的区域内，由于原点到直线的距离为，所以，实数的最大值为

”，7．【湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测】已知命题p：“存在x∈R，使若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．

【答案】

xx+1【解析】非p即：“对任意x∈R， 4+2+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4－2xx+1，

而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。

8．【河南省安阳市35中2018届高三核心押题】若命题“范围是__________．

【答案】

”是假命题，则实数的取值 9．【2018福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】已知命题：，命题：幂函数取值范围是_________。

【答案】

在是减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的【解析】对命题，因为所以，解得；

在；

，

命题，因为幂函数所以因为“所以，解得”为真命题，“一真一假，

且，且或是减函数，

”为假命题，

若真假，可得若假真，可得

实数的取值范围是故答案为，解得，解得，

；

；

. 函数为10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期开学考试】已知命题在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若

真命题，则实数的取值范围是___________．

【答案】

11．【2018上海5月高考模拟】集合分条件，则实数取值范围是____________. 【答案】【解析】因为“”是“. ，当时，

”的充分条件，所以，

，故.填. ，，若“”是“”的充12．已知命题p：范围为________．

【答案】

，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值【解析】命题p：，解得－2≤x≤10，由q是p的必要不充分条件知，{x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，

∴

或，∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

13．设命题范为______．

；命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值

【答案】

，解得，另：

是的必要而不充分条件等价于【解析】命题等价于是的必要而不充分条件，即可得，解得为定义在，故答案为．

14．【2018甘肃酒泉一诊】已知命题:函数.命题:当值范围. 【答案】

时,方程上的单调递减函数,实数满足不等式有解.求使“且”为真命题的实数的取 15．【2018江西新干县第一次联考】设命题p：为R上的减函数，命题q：函数命题q：在 【答案】【解析】

上恒成立．若p∨q 为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．

由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．

若p真，由y＝c为减函数，得0

x

在上的最小值为2

若q真，则，即

若p真q假，则；

若p假q真，则.

. 综上可得，

16．已知命题:,;命题:,使得.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围. 17．【2019安徽肥东8月调研】已知命题：

（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若有命题：

【解析】（Ⅰ）∵，

，

，当，∴为真命题且且为假命题时，求实数的取值范围. ，

，

. 解得∴为真命题时，

. （Ⅱ），

，

.

又∴∵时，

. 为真命题且，

为假命题时，

∴真假或假真，

当假真，有解得；

当真假，有解得∴；

为真命题且

为假命题时，

或. 18．设实数、满足：

正实数的取值范围．

【解析】因为又是，实数、满足，若是的充分不必要条件，求的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件，

表示以为圆心，为半径的圆面，

结合图象，可知当圆面与直线∴正实数的取值范围是故答案为：

．

，

相切时，圆面最大，，∴，

22219．设命题p:实数m使曲线xy4x2ym6m120表示一个圆；命题q:实数m使曲线

x2y21表示双曲线.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围. mma【解析】

2对于命题p：

x2y1m6m7表示圆，所以m26m70

22解得：

m7或m1

对于命题q:

mma0，即ma或m0

p是q的充分不必要条件



a7，



0a7

故实数a的取值范围0,7 20．已知a0,给出下列两个命题: p:函数fxlnx1lna小于零恒成立; 2xq:关于x的方程x21ax10一根在0,1上,另一根在1,2上. 若pq为真命题, pq为假命题,求实数a的取值范围. a99;即p:a; 44

f0102设fxx1ax1,则由命题q:{f13a0

,解得: 3af272a0即q:3a7;

27;

2若pq为真命题, pq为假命题,则p,q一真一假; 99aa749,a3,

或a;

①若p真q假,则：

{4

或{7420a3a294,a

;

②若p假q真,则：

{73a20a79实数a的取值范围为,3,. 24221．【2018江西莲塘、临川第一次联考】已知p:对x2,2函数fxlg3aaxx总有意义，

q:函数fx取值范围. 【解析】

13xax24x3在1,上是增函数；若命题“pq”为真，“pq”为假，求a的3 22．【2018河南南阳第二次考试】已知全集UR，非空集合

x2xa22A{x|0},B{x|0},

x3aaxa(1)当a1时，求CRBA；

2(2)命题p:xA，命题p:xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 【解析】

（1）A119,2，

B,，

CuBA

224

③当3a12，即a1时，

A{x|3a1x2}要使AB需要

a11{a3a1

∴a1

22a22综上所述，实数a的范围是,11,2.

12