习题3.1板书设计及意图

直线的倾斜角与斜率

【教学目标】

1．知识与技能: （1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，

（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

2．情感、态度、价值观：

（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。 （2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神

3．过程与方法: 通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。

【教学重点难点】

1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式

2．教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式

【教法学法】启发式教学法、对话式教学法

【教学准备】多媒体、实物模型

【教学安排】2课时

【教学过程】

一、复习引入：

直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题中有广泛的应用。本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。

⑴回顾一次函数的图象及性质

形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数。

⑵画出下列一次函数的图象

①

y = 2x + 4 ② y = －2x + 2

小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点，通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。

研究两点（－2,0）、（0,4）与函数式y = 2x + 4的关系是：这两点就是满足函数式的两对x、y的值。

由作图知满足函数式y = 2x + 4的每一对x、y的值都是函数y = 2x + 4上的点；这条直线上的点的坐标都满足函数式y = 2x + 4。

小结：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b(k≠0)的每一对x、y的值为坐标的点构成的。

由于函数式y=kx+b(k≠0)也可以看成二元一次方程，所以我们说，这个方程的解和直线上的点存在这样的对应关系。

二、讲授新课：

⑴直线方程的概念

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线和方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题，为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率。正面请同学们阅读教材P34－35，理解直线的倾斜角和斜率的定义，并注意它们的变化范围。（5分钟）

⑵直线的倾斜角

①定义: 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0º。

②范围：0º≤α＜180º

y y l l

α α

o x o x

⑶直线的斜率

定义：倾斜角不是90º的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即

（4）过两点的直线的斜率公式、形式特点

方向向量：

y y P2 P2 P1 P1 α α α α

o x o x

直线上的向量P直线P1P2的方1P2及与它平行的向量都称为直线的方向向量。向向量P，P2（x2,y2）；当直线P1P21P2的坐标是（x2－x1，y2－y1）,其中P1（x1,y1）k = tanα（α≠90º）

与x轴不垂直时，x2≠x1，此时1P1P2也是直线P1P2的方向向量，且它的坐x2x1标是1，其中k为直线P1P2的斜率。

(x2x1,y2y1)，即（1，k）x2x1注：方向向量与x轴所成的最小正角与直线l的倾斜角相等。

（5）斜率公式

经过两点P1（x1,y1），P2（x2,y2）的直线的斜率公式是：

k推导如下：

设直线P1P2的倾斜角为α，斜率为k，向量P1P2的方向是向上的（如下图），向量P1P2＝（x2－x1,y2－y1),过原点作向量OP　P1P2,则点P（x2－x1

, y2－y1）,而且直线OP的倾斜角也是α，根据正切函数的定义有

y2y1(x1x2)

x2x1tany2y1yy1(x2x1)，即k2(x2x1)。

x2x1x2x1

同样，当向量P1P2的方向是向下时，也有 同样的公式。小结：斜率公式的形式特点

⑴斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒。

⑵斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需要求出直线的倾斜角。

⑶斜率公式中，当x1＝x2时不适用，此时直线和x轴垂直，直线的倾斜角α＝90°。

3、应用举例

Y

例1 如图，直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2⊥l1，求直线l1、l2的斜率。 解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°=3/3 l1

∵l1⊥l2 l2

∴l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°

∴l2的斜率k2＝tan120°＝－3 α1 α2

o x 例2直线过点A（－2，0）, B（－5，3），求直线AB的斜率。

解：k＝(3－0)/[(－5)－(－2)]＝－1

又α∈［0°,180°）

∴α＝135°

因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135°

巩固练习

P37

练习

4、5 4、归纳总结

数学思想：数形结合、分类讨论

数学方法：图象法、公式法

三、内容、方法小结：

本节介绍了直线的倾斜角和斜率的定义，以及斜率的两种求法，教学中运用图像法和公式法使得内容更易理解。

四、课后作业

P89 2 3 五、板书设计：

1.倾斜角和斜率

倾斜角定义： 例1 斜率定义：

两点式求斜率 例2 作业：