习题1.3教学设计实例

选修2-1 第一章

常用逻辑用语

1.3简单的逻辑联结词

课型 习题课

19级部数学组，王哲琴

教学目标：

1.知识与技能目标：

（1）进一步熟练掌握逻辑联结词“且”“或”“非”的含义、

（2）进一步正确应用逻辑联结词“且”“或”“非”解决问题

（3）掌握真值表并会应用真值表判断复合命题的真假，进一步解决一些实际应用问题

2．过程与方法目标：

观察和思考中，在解题和证明题中，特别注重学生思维能力中严密性品质的培养．

3.情感态度价值目标：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神，培养学生独立思考锲而不舍的钻研精神。

教学重点与难点

重点：判断“p∧q”，“p∨q”

“¬p”的真假．

难点：逻辑联结词“或”的含义

教学过程：

一、：解读课标

一、课标解读

具体内容

逻辑联结词“且”

逻辑联结词“或”

逻辑联结词“非”

要求

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ

说明

1.通过教学实例，了解逻辑联结词“且”，“或”，“非”的含义，只要求能将两个命题用“且”，“或”，“非”

连接，不要求分解，对于“非”的含义，不要求一般性的讨论命题的否定；

2.不要求引入和使用真值表，以避免学生机械的记忆.

1.通过数学实例，进一步了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．

2.会判断“p∧q”，“p∨q”

，“¬p”命题的真假. 幻灯片3

1.判断“p∧q”，“p∨q”

“¬p”的真假．(重点) 2.逻辑联结词“或”的含义．(难点) 3.常与集合、不等式等结合考查. 二、复习知识点：

1．用逻辑联结词“且”“或”构成新命题

(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作“ ”．

(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作“ ”．

(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作 ，读作“ ”或“

”．

p∧q p且q p或q p∨q 綈p 非p p的否定

2．含有逻辑联结词“且”与“或”“非”的命题

的真假规律

(1)对于“p∧q”命题：一假则假；

(2)对“p∨q”命题：一真则真；

(3)对“¬p”命题：与

“p”命题真假相反．

三、知识应用与巩固

分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．

(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

按要求写出三种形式的新命题．

(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

[解题过程] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

綈p：梯形没有一组对边平行．

(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．

[题后感悟] 解决这类问题的关键是正确理解“且”“或”“非”的含义．用“且”“或”“非”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p，q中的条件或结论合并．

指出下列命题分别是“p∧q”“p∨q”“¬p”中的哪种形式及构成它的命题p，q，并判断命题的真假；

(1)5≥4；

(2)24既是8的倍数，也是6的倍数；

(3)正方形不是矩形；

(4)5是合数或是素数．

[解题过程] (1)p∨q的形式，其中p：5>4，q：5＝4. ∵p真q假，∴p∨q为真．

(2)p∧q的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．

∵p真q真，∴p∧q为真．

(3)¬p的形式，其中p：正方形是矩形．

∵p真，∴¬p为假．

(4)p∨q的形式，其中p：5是合数，q：5是素数．

∵p假q真，∴p∨q为真．

[题后感悟] 有些命题中不一定包含“或”“且”“非”这样的逻辑联结词，要通过分析命题的具体含义，找出命题中相当于“或”“且”“非”的联结词，从而明确命题的构成形式，最后结合p，q的真假来判断原命题的真假．

2.下列语句是命题吗？如果是命题，试指出命题的形式，若含逻辑联结词，写出所联结的命题．

(1)12能被3和4整除；(2)向量既有大小又有方向；

(3)不等式x－2≤0的解是x≤2；(4)π不是有理数．

幻灯片14 解析：

题号

(1) (2) (3) 是否为命题

是

是

是

命题形式

p∧q p∧q p∨q 命题p p：12能被3整除

p：向量有大小

p：不等式x－2≤0的解是x<2 p：π是有理数

命题q(或綈p) q：12能被4整除

q：向量有方向

q：不等式x－2≤0的解是x＝2 真假

真

真

真

(4) 是

綈p 綈p：π不是有理数

真

写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

(1)p：a，b为实数，a2＋b2≥2ab；

(2)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴没有公共点；

(3)p：a，b为整数，若a＋b 为偶数，则a，b都是偶数；

(4)p：a，b，c是实数，当a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0时，a＝b＝c.

结合命题的否定的定义，对命题中的关键词进行否定．

[解题过程] (1)¬p：a，b为实数，a2＋b2<2ab. ∵p真，∴¬p为假．

(2)¬p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点．

∵Δ＝32－4×4<0，

∴p真，∴¬p为假．

(3)¬p：a，b为整数，若a＋b为偶数，则a，b不都是偶数．

∵p假，∴¬p为真．

(4)¬p：a，b，c是实数，当a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0时，

a，b，c不全相等．

∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac

＝1[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0，

2

[题后感悟]

命题的否定与否命题是两个不同的概念，不要混淆，当一个命题为真时，它的否定一定为假，但它的否命题不一定为假，有些命题否定时，要结合命题的具体含义，如本题中的(3)题．

∴a＝b＝c，∴p真，∴¬p为假．

3.写出下列命题的否定，并判断它们的真假．

(1)p：3是有理数；

(2)p：5不是75的约数；

(3)p：7<8；

(4)p：5＋6≠11；

(5)p：空集是任何非空集合的真子集．

解析：

(1)綈p：3不是有理数．命题p是假命题，綈p是真命题；

(2)綈p：5是75的约数．命题p是假命题，綈p是真命题；

(3)綈p：7≥8.命题p是真命题，綈p是假命题；

(4)綈p：5＋6＝11.命题p是假命题，綈p是真命题；

(5)綈p：空集不是任何非空集合的真子集．命题p是真命题，綈p是假命题．

已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

由题目可获取以下主要信息：

①命题p与q已知；

②p或q为真，p且q为假．

解答本题可先求p，q中的m的范围，再利用p∨q为真，p∧q为假，构造关于m的不等式组，求出适合条件的m的范围．

幻灯片22

已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

解得1

即q：1

因p或q为真，p且q为假，

所以p、q有一个为真一个为假.6分

[规范作答]

若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，

2Δ＝m－4>0，则m>0，

解得m>2，

即p：m>2.2分

若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，

则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，

(1)若p真，q假，

m>2，m≤1或m≥3，

解得：m≥3.8分

(2)若p假，q真，

m≤2，1

解得：1

综上所述：m的取值范围是1

[题后感悟] (1)利用命题的真假求参数，实际就是已知命题p∧q真，p∨q真，¬p真等不同的条件，求命题中涉及的参数的范围．

(2)分清p∧q，p∨q、¬p为真的不同情况，p∧q为真，则p真，q也真；若p∨q为真，则p、q中至少有一个为真．若p∧q为假，则p、q中至少有一个为假；¬p为真，则p为假．

4.命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

解析：

设g(x)＝x2＋2ax＋4.由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，

所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，

故Δ＝4a2－16＜0，

∴－2＜a＜2，

所以命题p：－2＜a＜2. 函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，

则有5－2a即a＜2. 所以命题q：a＜2. 又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．

(1)若p真q－2＜a＜2假，则a≥2＞1，

，此不等式组无解．

a≤－2或a≥2(2)若p假q真，则a＜2

，

∴a≤－2. 综上可知，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2}．

四、复习与小结

1．判断复合命题的真假

(1)不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词“且”“或”“非”构成的命题是复合命题．

(2)判断复合命题的真假的步骤：

①确定复合命题的构成形式；

②判断其中简单命题的真假；

③根据真值表判断复合命题的真假．

2．正确认识命题的否定与否命题的关系

命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，只有弄清它们之间的区别与联系才不会出错．

区别：(1)概念：命题的否定形式是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定后组成的命题．

(3)真值：命题的否定真值与原来的命题相反；而否命题的真值与原命题无关．

联系：它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定形式为“至少有两个”)．

2．命题“p∧q”与“p∨q”的否定

根据“且”“或”的含义，“p∧q”的否定为“(綈p)∨(綈q)”，“p∨q”的否定为“(綈p)∧(綈q)”．

(2)构成：对于“若p，则q”形式的命题，其命题否定为“若p，则綈q”，也就是不改变条件，只否定结论；而其否命题则为“若綈p，则綈q”．

3．规律总结

一个关系

【逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

三条规律

(1)对于“p∧q”命题：一假则假；

(2)对“p∨q”命题：一真则真；

(3)对“¬p”命题：与

“p”命题真假相反．

五、知识检测

1．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的新命题“p∧q”，“p∨q”，“p”中，真命题有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．若命题p：2m－1(m∈Z)是奇数，命题q：2n＋1(n∈Z)是偶数，则下列说法正确的是(

) A．p∨q为真

B．p∧q为真

Cp为真

D．q为假

3．设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6.若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.

4．指出下列命题的构成形式(“p∧q”或“p∨q”)及构成它的命题p，q，并判断它们的真假．

(1)5≥3；

(2)(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)既能被2整除，也能被3整除；

(3)∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集．

幻灯片37

1.解析：

容易判断命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，綈p是假命题．所以选A. 答案：

A

幻灯片34 2.解析：

命题“p：2m－1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题“q：2n＋1(n∈Z)是偶数”是假命题，所以p∨q为真．

答案：

A 幻灯片35

3.答案：

3

－3

解析：

(1)此命题为“p或q”的形式，其中，p：5>3；q：5＝3. 此命题为真命题，因为p为真，q为假，

所以“p或q”为真命题．

幻灯片38

(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，

p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；

q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除．

此命题为真命题，因为p为真命题，q也是真命题．

所以“p且q”为真命题．

幻灯片39

(3)此命题为“p且q”的形式，其中，

p：∅是{∅}的元素；

q：∅是{∅}的真子集．

此命题为真命题，因为p为真，q也为真，故“p且q”为真命题．

幻灯片40 六、作业1.p：x2-x≤6，q：xZ ，且“pq”与“q”都不正确，求x的值。

略解：x的值为：-1,0,1,2

2、高中导学练23-24页

七、板书设计：

1.p且qp∧q，一假则假

例4

2.p或qp∨q一真则真；

3.非

p

¬p与“p”命题真假相反．

八、教学反思：课容量大，语速快,加强调动学生的积极性。