1.2.1 充要条件教学设计与反思

“充分条件、必要条件”教学设计

汉寿县第一中学

许正明

一．教学内容解析

1.地位与作用

《推出与充分条件、必要条件》选自普通高中课程标准实验教科书人教B版选修2-1第一章《常用逻辑用语》第三节的第一课时。常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，更是数学表达和交流的工具，也是逻辑思维的基本语言。对于本单元《常用逻辑用语》的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升学生交流的严谨性与准确性。本节课《推出与充分条件、必要条件》是《常用逻辑用语》单元中非常重要的一节概念课，在数学和生活中有很多的命题用这种逻辑关系来表达。本节课之前，教材设计了命题与量词、基本逻辑联结词作为知识上的铺垫。在此基础上，本节课着重从逻辑关系的角度阐释在问题转化时是否是等价转化的问题，并让学生体会逻辑用语在表述内容时的正确表达方式。本节课的知识对于本单元的内容起到了承前启后的作用，不仅拓展了逻辑表达的不同形式，而且为下节课命题的四种形式的内容展开打下坚实的基础。另外，本节课的知识也与其它数学知识、生活知识联系紧密，有助于培养学生的创新能力、迁移能力、归纳能力和转化能力；同时，概念的生成与应用过程中也渗透着重要的数学思想，在学习的过程中更可以贯彻数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养的落实。

2.教学重点

充分条件、必要条件与充要条件的概念。

3.教学难点

必要条件概念的理解及充分条件、必要条件与充要条件的判定方法。

二．教学目标设置

根据学生的认知水平和教材内容，确立本节课的三维目标为——了解“若p，则q”形式的命题、学会判断命题的真假，在此基础上，理解充分条件、必要条件、充分条件的意义，并掌握充分条件、必要条件、充分条件的判定方法。在整个教学过程中，一方面，学生通过问题提出、问题回顾、问题生成、问题研判、问题升华、问题创造、问题探索七大环节对知识进行深入的理解与研究，并能够从多个角度对概念进行判定。将概念的生成和应用问题化，提高学生等价转化能力、归纳概- 1 -

括能力和逻辑表达能力；另一方面，学生经历自主设计命题和合作交流探索的教学过程，学会用数学观点分析问题和解决问题，提高推理的准确性和严谨性，提高学生数学思维品质；与此同时，学生建立充分条件、必要条件、充要条件与集合之间包含关系的联系，借助“形——维恩图”解决数学问题，渗透数形结合思想和转化与化归思想方法。总之，本节课学生通过对概念的探究、归纳和判定，感悟对立统一的思想，体会形与数的和谐统一美，经历由特殊到一般、从具体到抽象的思维方式，提高学生间的合作交流意识。

三.学生学情分析

1.基础能力

（1）学生已学完高中数学必修的全部内容，在知识上有一定的基础；同时，学生在日常生活中已有大量逻辑经验的积累，这都为本节课《推出与充分条件、必要条件》概念课的学习奠定了良好的基础。

（2）授课的学生来自辽宁省大连市第二十四中学高二（五）班，学生基础知识掌握较好，数学思维较活跃，具备一定的基本数学素养和观察分析、抽象概括及简单的归纳推理能力。

2.认知现状

本节课的“充分条件、必要条件和充要条件”的三个概念是密不可分的。按照学生已有的知识体系和生活经验，他们对“充分条件”概念的理解较为容易，但对“必要条件”的概念理解较为困难，尤其是在理解：“命题若p，则q为真命题”、“pq”、“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”这四种不同的表现形式，其实在表达同一种逻辑关系时，会遇到一些思维上的障碍。同时，本节课的内容是一个开放性知识的交汇点。不仅仅知识本身很重要，而且关系到与其它数学知识和其它学科知识的有机融合，这些都对学生的逻辑表达能力和知识应用能力有一定的要求。

3.情感特点

逻辑用语是数学表达的重要工具，无论是进行思维、交流，还是从事各项工作和学习，都需要使用正确的逻辑用语表达自己的思维，并能够准确的判断条件和结论之间的关系。因此，学生渴望获取新知识，享受获得成功的体验，为将来的学习和工作创造价值。

四．教学策略分析

鉴于以上分析，为了达成课堂整体教学目标，突出本节课的教学重点和难点，整个课堂教学主要贯彻与执行以下策略。

- 2 -

1.引导——问题探究式 新课程标准的改革与实施，要求我们的教学过程要以学生主动参与为主，因此，学生自主探究、合作学习就显得格外重要。教师不仅是知识的传授者，更是学生学习的引导者、组织者和合作者。基于此，本节课采用了启发探究式的教学方式，师生共同探讨与研究问题，强调数学概念的生成过程。整个课程首先从实际问题出发引出课题，再详细挖掘概念，引导学生发现概念的内涵，最后应用概念解决问题，以此加深学生对知识本质的理解。在整个教学过程中，教师采用问题链的方式，让学生积极思考，主动学习。通过七个问题的逐层递进——问题提出、问题回顾、问题生成、问题研判、问题升华、问题创造、问题探索，引发学生的思考，让学生的思维参与到整个教学过程中。这不仅强化了学生使用逻辑语言准确地表达数学和生活中的关系问题，而且提高了学生分析问题、解决问题、归纳问题、探究问题的能力。

2.合作——共享交流式

由于本节课概念性、理论性较强，内容相对比较抽象，学生较难理解和掌握。一般的教学方法容易使学生感到枯燥乏味，为此教师需要问题引领，学生更需要合作交流，共享创造，让学生从多个角度去审视问题、分析问题、思考问题和解决问题。在本节课的概念教学中，要弄清楚充分条件、必要条件和充要条件的来龙去脉，最关键的一点是需要揭示概念的本质属性，正本清源，以此来加强思维“关键点”。教师和学生通过举出数学和生活中大量存在的具体例子，感知概念的生成；通过感知历史文化、典型问题，以及理解本节课与集合包含关系的紧密关系，理解概念的内涵。因此，以教师为主导，学生为主体，让学生在自我思考、相互合作交流中感知和理解概念的内涵，显得格外重要。本节课根据学生的实际情况，在教学中充分发挥学生的主观能动性，教师通过“问题链”的形式，让学生层层解决学习中遇到的重难点；通过与学生的问答交流，发现其思维生长点，并进行恰当适时地引导；习题的设计由浅入深，强化了学生对知识的理解，检测学生对知识的掌握情况，对出现的问题也给予了及时地纠正。

五．教学过程设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

- 3 -

一．问题提出——

1.生活问题

情境引入：“水是生命之源，万物之本。”

生活问题1所涉及教师提出问题

的生态文明建设问

题是当今社会生活创设情境

学生思考：“水”和“人类生存”之间具有怎样

的关系呢？

2.物理问题

观察两张电路图并思考下列两个问题：

思考1：哪一张电路图可以说明，当p开关闭合学生思考问题

关注的焦点，以此

为背景教师提出思学生回答问题

考问题——“水”

和“人类生存”之间具有怎样的关提出问题

时，q灯一定亮？

教师提出问题

系，进而让学生感知水是人类生存必思考2：哪一张电路图可以说明，当q灯亮时，

p开关一定闭合？

学生思考问题

不可少的条件。

通过以上两个问题的分析，我们不难发现，学生回答问题

水和人类生存之间，p开关闭合与q灯亮之间都具有一定的逻辑关系，那么这种逻辑关系在数

物理问题2是学生引入课题

学中如何定义呢？

这就是我们今天所要探讨的课题《1.3.1推出与充分条件、必要条件》。

二．问题回顾——

给出数学和生活中的两个命题并判断真假：

命题1：若x0，则xy0. 教师归纳问题

非常熟悉的串联与教师引入课题

并联电路图，以此

为背景教师提出两张电路图中p开关闭合与q灯亮之间的关系，为引入本回顾旧知

命题2：若小明是中国人，则小明是北京人。

以上两个命题的形式可以概括为：

“若p，则q”或“如果p，那么q”. 教师提出问题

节课的研究课题埋

下伏笔。 学生回答问题

其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。

教师归纳结论

引入情境的两个问题，不仅表达了本- 4 -

节课探讨的数学问题来源于生活，而且体现了学科之间的关联性。这种引课方式新颖独特，能够唤起学生的求知欲。

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

- 5 -

（1）如果“若p，则q”，是一个真命题，这时，我们就说由p可以推出q，用符号语言记

通过对命题的新的表达方式（符号语引入概念

作：pq.

（2）如果“若p，则q”，是一个假命题，这时，我们就说由p不能推出q，用符号语言记作：pq.

教师传授新知

言）的引入，顺利

实现了本节课由“已有知识结构”向“新知生成”过问题1：你能举出一些在数学和生活中“若p，教师提出问题

程的转化。

举例构建

则q”形式的命题的例子吗？并判断给出的命题

的是真命题还是假命题？

三．问题生成——

问题2：请同学们把下面“若p，则q”的命题补充完整，使它成为一个真命题：

2学生思考举例

问题1：学生根据

已有知识的体系提出问题，在学生的教师提出问题

最近发展区构建新

知，符合学生普遍问题生成

若 ，则x1.

（1）若x1，

则x1. （2）若x1，则x1.

（3）若x1，

则x1.

【充分条件定义】

如果“若p，则q”是一个真命题，即pq时，我们就称p是q的充分条件。

222学生思考问题

的认知规律。同时，

学生自己构建命题师生合作完善

并判断真假的学习

过程，也为下面学习充分条件和必要教师归纳问题

条件做好了铺垫。

概念形成

问题3：结合刚才的实例分析，如果pq，

如何理解p是q的充分条件？

（1）有x1这个条件，就一定能推出x1成立。——有它就行. 22

问题2：设计这个教师提出问题

半开放性问题是对

问题1的一个延续。概念理解

（2）只有x1这个条件，使得x1成立吗？ 学生思考问题

为了使其成为真命——没它未必不行.

题，学生在思考回师生归纳结论

答问题过程中，会发现使结论成立的- 6 -

条件并不唯一，而这一环节有利于充分条件概念的顺利生成。

问题3：意在揭示充分条件概念的本质属性。有了p，q一定成立（有之则必然）；没有p，q也未必不成立（无之则未必不然）。

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教学环节

教学内容

【历史文化】

在我国战国时期，墨子在所著的

师生互动

设计意图

通过对历史文化的介绍，增强学生学

概念理解

巩固练习

《墨经》当中，给出了对充分条件的理解：

有之则必然，无之则未必不然。

内化新知小试牛刀

教师升华结论

习数学的兴趣，激

发学生对民族文化的热爱。同时，也加深了学生对充分条件内涵的理解。

例1：三个问题的例1.判断下列问题中，p是q的充分条件吗？

（1）p: x0 q:xy0

答：pq，p是q的充分条件. （2）p: 两个三角形全等

q: 两个三角形面积相等 答：pq，p是q的充分条件. 教师提出问题

设置意在通过实例

分析将“问题p是（3）p: 水 q: 人类生存 学生思考问题

否为q的充分条

件”的判定转化为内化新知

答：pq，p不是q的充分条件.

四．问题研判——

学生回答问题

命题“若p，则q”的真假判断，或者再次举例给出例1的问题（3），提出两个思考：

如s: 水 t: 人类生存

p能否推出q的判断过程，再次强化通过刚才的判断，我们可以发现：st.

问题研判

这就说明：有水不能充分保证人一定能生存，

因此s并不是t的充分条件。

思考1：水是人类生存的什么条件，即s是t的什么条件呢？

思考2：如何用推出符号描述s和t之间的逻辑教师提出问题

学生对充分条件定

义的理解。

师生合作探究

概念的否定是概念理解的重要方面。概念生成

关系呢？

【必要条件定义】

学生思考问题

教师再次以例1第

3问“水”和“人类生存”之间的关系为例，让学生在直如果“若t，则s”是一个真命题，即当ts时，

我们就称s是t的必要条件。

- 8 -

学生归纳结论

观感受的基础上给出“充分条件”的否定形式，结合具体实例中的两道思考题，为必要条件概念的引入做好了铺垫。进而让学生体会必要条件概念的生成并不是凭空而降，而是有其意义和背景。

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教学环节

教学内容

问题4：结合刚才的实例分析，如果ts，

如何理解s是t的必要条件呢？

师生活动

教师提出问题

设计意图

问题4：意在揭示必要条件概念的本概念理解

（1）如果只有水，不一定能充分保证人类一定

概念理解

巩固练习

内化新知小试牛刀

能生存——有它未必行. （2）但如果没水，那么人类一定不能生存

——没它一定不行.

【历史文化】墨子在所著的《墨经》当中，不仅给出了对充分条件的理解，还给出了对必要条件的理解：无之则必不然，有之则未必然。

学生归纳结论

质属性。有了s，t

教师升华结论

不一定会成立（有之则未必然），但没有s，t一定不成立（无之则必不然）。

教师再次通过墨子所著的《墨经》，让学生体会必要条件的内涵，感受历史文化，激发学生对民族文化的热爱和自豪感。

例2：设置的三个问题将必要条件定义中的“s和t”，改成“p和q”，主要的目的有两个：

目的一：明确问题的条件和结论。

目的二：例1和例2例2.判断下列问题中，q是p的必要条件吗？

22（1）p: xy q:xy

答：pq，q是p的必要条件

（2）p: A

B q: A

答：pq，q是p的必要条件

（3）p: x为实数 q: x为整数

答：pq，q不是p的必要条件

五．问题升华——

问题5：通过前两道例题的分析，你认为如何判定p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件？

最关键的是判定：命题“若p，则q”是真命题还是假命题或者说“p能否推出q”.

教师提出问题

教师示范问题

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内化新知

问题升华

学生思考问题

学生回答问题

教师引导思考

学生思考问题

中的问题相照应，将“问题q是否为p的必要条件”的判定转化为命题“若p，则q”的真假判断，或者“p能否推出q”的判断过程。这样，不仅强化学生对必要条件判定方法的理解，而且为后面问题升华作了铺垫。

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教学环节

归纳总结：

教学内容

师生活动

设计意图

1.文字表达：“若p，则q”是一个真命题。

问题5：两道例题的分析意在让学生自主发现判定“p是不是q的充分条件”，“q是不是p归纳升华

2.符号表达：pq.

3.逻辑表达（1）：p是q的充分条件. 4.逻辑表达（2）：q是p的必要条件. 以上这四种形式的表达，其实讲的都是同一种逻辑关系，只是说法不同而已。

内化新知小试牛刀

师生归纳总结

的必要条件”，最关

键的是它们都在判定“若p，则q”是否为真命题或者说“p能否推出例3.在下列各组命题中，试判定p是q的什么条件？

（1）p：ab q：ab

答：pq，qp，p是q充分条件，但不q”。归纳总结出的这四种不同的表达形式，其实都是同一种逻辑关系，进而突破本节课的一大难点。

例3的设计和应用主要目的有两个：

（1）明确问题的条件和结论，进而强调“推出”符号的方向性。让学生能够从两个角度“p是必要条件，简称p是q的充分不必要条件。

教师提出问题

2巩固练习

（2）p：a4 q：a2

答：pq，qp，p是q必要条件，但不是充分条件，简称p是q的必要不充分条件。

（3）p：函数f(x)满足f(0)0

学生思考问题

q：函数f(x)是奇函数

答：pq，qp，p是q不充分条件，内化新知

也不是不要条件，简称p是q的既不充分也不

必要条件。

（4）p：四边形是平行四边形 q：四边形的一组对边平行且相等 答：pq，qp，p是q充分条件，也是必要条件，即p是q的充分且必要条件, 简称p是q的充要条件。

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巩固练习

内化新知

学生回答问题

能否推出q”以及“q能否推出p”来判定p是q的什么条件，体会定义判定方法的使用。

（2）通过四道典型数学问题的分析，让学生感知充分条件和必要条件关系的四种不同类型。将本节课的新授内师生归纳总结

容进一步完善，引

出充分必要条件的概念。

教学环节

教学内容

【充要条件定义】

如果pq，且qp，那么p是q的充分且必要条件，简称p是q充要条件.

师生活动

设计意图

充要条件概念的生成部分不仅仅给出了定义本身的本质属性，更重要的是揭示了充要条件和充分条件、必要条件之间的关系。总结归纳：

（1）充分条件包含着充分不必要条件和充概念生成

符号语言记作：pq.

显然同时，q也是p的充要条件. 因此，当p是q的充要条件时，也常说成：

师生归纳结论

教师提出问题

p与q等价，或p当且仅当q.

六．问题创造——

问题6：请同学们根据已学过的数学知识举例给- 13 -

问题创造

问题探索

出p与q，并判定p是q的什么条件？

【小组讨论活动——设计p与q】

教师举例给出设计的p与q：

学生思考探究

学生合作交流

学生评价表达

要条件。

（2）必要条件包含着必要不充分条件和充要条件。

问题6：学生活动的设计，意在让学生能够把新知识的认知转化为内在的知识理解，进而巩固解决问题的方法。以此培养学生的合作能力与发散性思维，能够将本节课的知识融会贯通到其它知识中去。这样，从概念的生成到概念的应用，到最后能够独立举出实例，完成了一个完整的概念认知过程。

问题7和问题8的设置是从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程。意在让学生从集合关系的角度进一步理解充分条件和必p：x3q：x1，则p是q的 条件

变式训练：p： ，q：x1，

则p是q的充分不必要条件. 我们设p为集合A(p:xA),设q为集合

教师提出问题

学生回答问题

教师引导思考

学生思考问题

学生回答问题

教师提出问题

学生回答问题

教师提出问题

学生思考交流

学生回答问题

B(q:xB). 问题7：当p是q的充分不必要条件时，集合A与集合B之间具有怎样的包含关系呢？

七．问题探索——

问题8：已知p:xA，q:xB，根据已给的条件，请共同完成下列表格。

- 14 -

师生归纳结论

要条件的概念，并学会用两个集合之间的关系（图示语言：维恩图）判定p和q的关系，体会“数”与“形”结合思想方法。

教学环节

教学内容

灵活应用感悟方法

例4.请填写一个满足题意的条件

师生活动

教学意图

教师提出问题

例4这道开放题的设置换了一种句式，不仅增加了题目的难度，而且答案不唯一。在解决问题的过程中，学生自然会发现集合之间的关系，借助维恩图进行直观诠释与理解。不仅拓宽了概念的理解途径，同时培养了学生思维的广度和对问题本质的理解。

通过总结和反思，提高学生归纳概括巩固练习

（1）“x1”的一个充分不必要条件是

学生回答问题

（2）“x1”的一个必要不充分条件是

师生完善答案

教师提出问题

感悟方法

（3）“x1”的一个充分必要条件是

（4）“x1”的一个既不充分也不必要条件

是

再反思课堂小结

这堂课你学习了哪些内容？

你有什么收获？

再完善布置作业

必做题：

（1）教材21页，练习A组2,3. 课堂反思

（2）教材22页，练习B组1,2.

思考题：

“若p，则q”，是一个真命题，能否从充分条- 15 -

课堂小结

件与必要条件的定义角度，解释说明“若q，

布置作业

则p”也是一个真命题？

学生归纳课题

教师总结课题

教师布置作业

能力，使学生的认知结构更加完整，对知识的理解更加系统完善。

作业部分设计必做题与思考题，既能巩固所学知识，又能顺利地过渡到下一节的新授课题。

1.3.1推出与充分条件、必要条件集合的运算

一.命题形式

归纳总结

充分条件和必要条件

二.推出符号

1.文字表达

与集合的关系

同三.充分条件

2.符号表达

一

逻四.必要条件

3.逻辑表达（1）

辑

判定方法

关系五.充要条件

4.逻辑表达（2）

板

书

设

计

六．课堂教学目标检测

1.整合教材提高能力

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流还是从事各项工作，都需要人们正确地运用逻辑用语来表达自己的思维。本节课《推出与充分条件、必要条件》就是命题“条件”与“结论”逻辑关系的一种表述，让学生体会用逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性。本节课借助生活和物理中的实例导入新课，简洁自然。在学生的最近发展区设置问题，- 16 -

举例给出生活和数学中“若p，则q”命题的例子，学生很轻松地就融入了课堂教学，为接下来的概念生成做好铺垫。值得一提的是，教师并没有按照教材的顺序同时给出充分条件和必要条件的定义，而是引导学生从数学问题和生活问题中的“充分”及“必要”性出发，让学生对新知有所感知，再结合学生熟悉的数学命题，发现和归纳概念。并在概念应用过程中，将所学知识条理化、丰富化，不断地从不同的角度去挖掘概念的内涵，渗透数学思想方法，让学生的认知结构更趋合理和完善。教师认为这样处理问题，更容易让学生接受和理解，再次体会“用教材而不是教教材”的深刻意义。

2.合作交流高效有序

本节课的教学设计，坚决执行了“教师为主导，学生为主体”的教学理念。从问题的设置、例题的处理、问题的创造，到最后问题的归纳总结与反思，都遵循了“学生先行，交流在中，归纳在后”的教学流程。学生积极地参与到了课堂所设计的每一个环节中。这样的教学设计不仅仅让课堂更为高效，更重要的是提高了学生的数学核心素养。

3.概念教学符合认知

数学概念教学是中学数学教学的重要组成部分。教师应该关注学生的认知规律，注重概念的生成过程。如果概念课将重点仅仅放在概念的应用上，难免会使概念教学出现一定的偏差。教师认为，概念教学应该有效地处理以下几个问题，如：概念如何生成？为什么要这样定义概念？引入这个概念的意义是什么？概念教学贵在自圆其说。这里的自圆其说并不是胡编乱造，更不是歪曲事实，而是需要教师探索数学概念与其它学科之间、生活之间的联系。本节课教师把“水”和“人类生存”的关系作为生活经验的辅助，帮助学生更好地理解了充分条件和必要条件的概念，有效地突破了教学难点。

以上是对本节课教学的感悟，课后我将根据本节课在实际教学过程中出现的问题，在下一课时的教学中做出调整和弥补，并将对概念的理解更好地应用到数学问题的应用中去。

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