3.1.3 空间向量的数量积运算优质课一等奖

3.1.3．空间向量的数量积

教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教学过程：

（一）复习：

空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

2．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度e

B

A

B

C

A

|AB||AB|cosa,e|ae．|

3．空间向量数量积的性质：

（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|aa．

4．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

（三）例题分析：

例1

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直

分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！

例2．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

2

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

ngllmnmg∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

课堂应用：已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

ABACBDACABABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

同理：abbc，，

∴acbc，

∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

课堂练习：如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

2O

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

OABC24162322

∴cosOA,BC，

855|OA||BC|A

C

B

322所以，OA与BC的夹角的余弦值为．

5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！

课堂小结：

通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

1.证明两直线垂直.

2.求两点之间的距离或线段长度.

3.证明线面垂直.

4.求两直线所成角的余弦值等.