习题1.1教案1

教 学 设 计

《空间几何体外接球方法汇总》

教学内容：授课对象：授课教师：授课专业：联系电话：邮箱： yuananc@163.com

人教版高三年级数学一轮复习

高三年级（上）的学生

广州大同中学 袁安

数学

13710399240

【课题】

空间几何体外接球

维果斯基的“最近发展区理论”指出教学应在学生思维的最近发展区进行教学。用学生最易理解的背景知识和方法，解决新的问题。本设计依据此理论，整合高中所学的平面圆，轨迹方程，立体几何，推理与证明相关内容和方法。用“类比”教学，通过类比推理，首先从平面圆的标准方程及圆的性质定理出发，类比得到球的标准方程及球的性质定理。再类比确定圆心和半径的方法得到确定球心及半径的方法。最后对空间几何体的外接球问题进行了模型和方法的归类，从而让学生从代数法、几何法、数形结合等多种方法分析并解决空间几何体外接球问题，提升学生分析问题，解决问题的综合能力。

一、教学内容分析

本节课是在高三一轮复习完《立体几何》中几何体的性质、三视图及几何体的面积、体积之后的内容，是对前面所学立体几何知识的综合应用。空间几何体外接球问题在高考中是一个热点，也是一个难点，本内容从逻辑推理来说也是平面几何图形的外接圆的拓展。因此我们可以整合高中所学的所有知识与方法，用类比教学来学习空间向何体外接球问题。

1、空间几何体外接球在本章的位置

空间几何体

空间几何体的结构

三视图和直观图

面积与体积

平行间关系的转化

点、线、面位置关系

垂直间关系的转化

空间几何体外接2、本节内容的知识结构

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二、学情分析

1、在知识与方法上：

（1）在选修2-2中学习了“合情推理中的“类比推理”，为本节课的教学方法打下了坚实的基础。

（2）在选修2-1中学习了空间直角坐标系及平面中轨迹方程的求解方法，这为推导出球在空间直角坐标系中的标准方程做好了铺垫。

（3）在必修2中学习直线与圆、空间几何体、点线面的位置关系等的相关知识与方法，为解决空间几何体外接球的知识与方法打下基础。

2、在学习能力上：

学生已学完高三所有的数学知识与方法，思维训练已具有一定的独立学习能力和探索意识，本节课要学习的内容都在学生的最近发展区进行。

三、教学目标

1、基础知识：能记住球的表面积及体积公式、球的标准方程，球的两个性质定理及1个数学公式。

2、基本技能：会用类比推理，从圆标准方程、性质定理，推导出空间球的标准方程和性质定理，并能灵活应用撑握确定球心及半径的四种方法。

3、基本思想：在以本节数学知识为载体，应用”类比推理“的数学思想，渗透体会“方程”、“转化”、“化归”的数学思来解决问题；同时通运用“归纳推理”、“数形结合”等数学思想与方法来解决问题，从而为提升学生数学猜想、推理论证、几何直观、数据处理、数值计算提供良好的契机。

4、基本活动经验：

通过探索新知识和方法，树立敢于质疑、善于思考，严谨求实的科学精神，系统的思考和解决问题产生的必要性和合理性及优越性，培训学生自主学习习惯，增强同学的相互交流，形成良好的学习氛围。

5、发现和提出问题的能力：通过小组合作，同质互学，互质互问，在小组中通过讨论，利用类比平面圆和空间球的定义，性质，再应用定义和性质来解决定确定球心及半径的方法，让教学目标更加明确，教学重点突出，从互相质疑中发现解题的规律及方法；

6、分析和解决问题的能力：小组合作中，找出知识的主要“特征”，通过条件的改变，分析出不同的改变，可以适用的方法，从而能找出不同问题的特殊解法和一般解题的通法。让学生在教学每个过程中不断渗透和强化分析问题和解决问题的能力；

四、教学策略分析

本节课的教学难点首先是如何帮助学生找到确定外接球的方程、性质定理；教学重点是第

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如何用方程和性质定理来理清解题思路，找到并归纳出解决问题的方法和类型。

为突破难点，突出重点，本节课将整合高中几个相关章节的知识内容和方法。采用“问题驱动”，“自主探究”的教学方式，对知识与方法进行“类比教学”，同时在教学中注重归纳小结与化归数学思想的培训，发挥学生的主观能动性，让学生自己去体会和感受知识的产生过程和应用过程，让学生在思维的最近发展区进行学习，有利于学生认知策略的发展。

五、教学流程设计

本节课分为以下6个环节

创设

情

景

新课导入

探索新知

数学应用

归纳总结

巩固提升

教学流程设计

创设情景（了解

数学文化）

探索新知

设计意图：新课程改革的理念之一就是学习方式的

转变。现代学习方式的基本特征包括“体验性”，强调学生亲身去经历、去感悟。让学生从听老师讲推导转向学生自己动手，体现“做数学（do mathematics）”的现代数学教育理念。

设计意图：根据学生是学习的主体，教师是组织者、

引导者与合作者的新理念，通过三个不同的刺激模式，回忆旧的知识，从平面圆的标准方程猜想，并证明得球的标准方程，为“代数法”解决外接球做好准备。

新课的导入

设计意图：根据著名心理学家桑代克的试误学习理论中的“准备律”，运用该情境，能够让学生在动机上做好准备，对所学内容产生兴趣，使学生在学习前处于对知识的“饥饿状态”，产生一个心理“缺口”，从而激发学生产生弥合心理缺口的学习动力。

设计意图：为学生创设良好的教学情景，让学生更加清晰了解到本课讲解的主要知识，方法与技能，同时加强学生的学习的指向性。让学生重视解题的背景、原理和方法，让学生参与到原理和方法的发生过程中，感受和体验知识的产生过程。

球的标准方程

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数学应用（一）

方程思想

方法的归纳与

小结

数学应用（二）

几何性质应用

数学应用

（三、四）

画龙点睛

做数学

球的几何性质

设计意图：该环节按照一题多解，扩展学生思维的思路，让学生为代数法，几何法，及数形结何法，准备好理论知识。学生从圆的几何性质（垂径定理及逆定理）猜想，并证明得到球的2个重要的几何性质，让每个学生都能在自己的原有水平下进行学习，使每一个学生都得到不同程度的发展和提高。

设计意图：在学生的最近发展区进行教学，类比用“代数法”建立方程组，用方程思想，求三角形的外接圆方程。推广到空间直角坐标系中用“方程思想”，求解空间多面体外的外接球方程。

设计意图：让学生从特殊到一般，从“三元二次”到“四元二次”方程组，让自己总结出确定外接圆要“不共线”三点构成方程组，而外接球要“不共面”的四点构成方程组，构建更加完善的解题思路，总结出求二次方程组的最佳方法，让自己的思维上升到一个更高的层次。

设计意图：通过不同类别的典型例题强化用不同的知识与方法进行求解。起到拓展知识面，达到一题多解，综合应用知识的目的。两个性质定理及勾股定理的综合应用。例题安排要合理，有层次感，符合学生的认知发展水平。

设计意图：新课标要求提高从数学角度发现和提出问题，分析和解决问题的能力（四能）。目的是使学生看到数学中的总结、归纳与化归思想在实际问题中的客观应用，是看得见摸得着的，纠正偏见“数学只是一些枯燥的解题做题，没有什么实际的意义。使学生体会到数学的应用价值，培养学生的问题解决能力，从而构建起正确的数学观。

设计意图：通过不同类别的典型例题，让学生类比、化归为同一题型。通过变易找出解决直棱柱，特殊锥体，都是通过两个定理的应用，确定球心所在直线与平面的交点，再利用公式进行进行计算，最后解决问题。

设计意图：通用两个性质及一个公式的综合应用，分析在不同的条件下，引导学生用更简洁的方法（线线交点定球心）及（轴线方程定球心）解决外接球的球心和半径。

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课堂总结，

课堂小测。

课后作业，

一、

巩固提升。

二、

六、教学过程设计

教学

环节

（一）创设情景

华罗庚

数形本是相倚依，

焉能分作两边飞？

数缺形时少直觉，

形少数时难入微，

数形结合百般好，

割裂分家万事休。

笛卡尔

笛卡尔是法国著名的哲学家、物理学家、数学家、神学家，他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。

教师

活动

介绍：华罗庚

设计意图：巩固本节课所学知识，一是让学生自己了解自己对本节课的掌握情况,以便自己课后有针对性的学习,二是教师了解学生的学情为下一节课的学习做准备.

设计意图：让学生自己来总结本节课的主要的知识,方法同时总结重要的技巧与重要的数学思想，和活动经验（四基）.让学生重复一次本节课的内容.加深对课堂内容的掌握.

师生互动：猜一猜下图分别是哪一位数学名人

介绍解析几何之父：笛卡尔

【设计意图】：了解数学中解析几何的发展史历及相关文化知识，了解相关的数学名人、相关数学知识的产生和发展过程和应用过程，同时起到调动课堂氛围的作用。

（二）新课的导入

整合“平面直角坐标系的标准方程”，“垂径定理及逆定理”进行“类比推理”三个相关的知识。利用类比教学，得到球的方程与性质定理

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（三）探索新知

师生活动：利用类比教学，引导学生通过类比，根据各自的定义，从平面圆的标准方程类比得到空间球的标准方程。

1：类比得出球的标准方程

平面圆

圆的标准方程：变

不变

空间球

球的标准方程：把平面图形动点到定“圆”变成空间点的距离几何体的“球”

为定值

(xa)2(yb)2r2

(xa)2(yb)2(zc)2R2

图式2：类比得出球的两个性质定理

平面圆

平面圆中，垂直平分弦的直线过圆心。

变

“圆”变为“球”，“弦”变为“截面小圆”，“弦中点”变为“截面小圆圆心”

不变

空间球

垂直性质1：空间球中，过截面关系

圆心，且垂直于截面的“直线”过球心。

“圆”变为“球”，“弦”不变，垂直性质2：空间球中，垂直平过弦的“中垂线”变为“中垂面”

关系

分弦的“平面”过球心。

图式3：类比得出公式

圆的性质公式

勾股定理：圆中半径为r，弦长为AB，圆心到弦的距离为d，得到r2d2(AB)2

2变

平面圆的弦长变为空间球中截面小圆的直径，弦中点变为截面圆的圆心

不变

球的性质公式

垂直

勾股定理：球半径R，小关系圆半径r,球心到小圆圆心222的距离为d，得到R=r+d。

师生活动：先将圆的标准方程及初中学过的垂径定理及逆定理进行复习，同时引导学生用“类比推理”推广到空间中可以得到球的哪些内容同，并根据解析几何中轨迹方程的求法进行适当的证明。

【设计意图】：授人以鱼，不如授人以渔。让学生在小组合作的情况下进行互动合作学习，培养学生的“类比推理”能力，及“逻辑推理”能力，为后面解决空间几何体的外接球问题找到理论基础。

（四）数学应用

类型一：代数法（标准方程定球心）

确定在空间几何体的外接球中，若能较容易的建立空间直角坐标系，写出几何体不2222球心共面的四个顶点的坐标，由球的标准方程(xa)(yb)(zc)R，的方代入四个点的坐标，建立四个方程，再通过解方程组的代数思想，求出外接球的球心与半径，即可解决问题。

法

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例1、三棱锥S-ABC（图1）在空间直角坐标系的坐标是

例题A（0,0,0),B(0,4,0),c(2,6,0) 讲解

S(2,2,4)，求三棱锥S-ABC的外

接球半径R= 。

Z

S

例2、三棱锥A-BCD（图2）中AB垂直于平面BCD，CD⊥BD，且BD=2AB=2DC＝2，求三棱锥A-BCD外接球半径R=

A

B

y （图2）

思辨小结：

C X 图1 此类模型的特点是：在空间直角坐标系中，几何体中可以找到不面的四个顶点的坐标，再利用方程组解出方程得球心及半径。

师生活动：反思与小结

对比

参量

要求

如何求解

圆

标准方程有（a,b,r)三个参量

不共线三点，求圆的标准方程

球

标准方程有（a,b,c,R）四个参量

不共面四点，求球的标准方程

建立3个三元方程组进行方程组求解

建立4个四元二次方程组进行求解

【设计意图】：例1是让学生体验用标准方程解题时注意消元法的技巧，体会与解圆的标准方程的异同点；例2是为了让学生在没有点坐标时如何进行适当的建系。让学生学会自己主动分析，解决问题的能力。

类型二：（线面交点定球心）

确定

1、多面体中一线段中垂面及过多面体的一面的外接圆圆心的垂线的交点为球心。

2、底面外接圆半径r，高为h，

C1A1O2OCAO1B1球心的方法

h则其外接球半径为Rr2()2

2图3B对应1、底面半径为r，高为h的

2、正三棱柱底面边长

a,高为h，求外接球半径为

C1练习

圆柱的外接球半径为

O2

A1O1 B1

O

O

CO1

O2 ABA

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1、斜棱柱有外接球吗？

2、上下底面外接圆圆心连线不垂直于上下底面的棱台有外思辨接球？

小解析：因为过上下底面外接圆圆心的垂线，相互平行，无交点（如图4），所以没有任何一点（球心）到上下各顶点的结：

距离相等，所以斜棱柱无外接球。

图4

师生活动：引导学生用定理1和定理2确定直棱柱的外接球球心，并通过讨论并证明斜棱柱没有外接球，同时对什么样的台体有外接球进行了论证。

【设计意图】：让学生在老师的引导下体验“线面交点定球心”的产生过程，并能主动推导出直棱柱的外接球计算公式Rr2(h)2，并能熟练应用公式进行2计算。同时进行思辨，高中学习什么样的柱体和台体有外接球，培养学生发现和提出问题的能力，又促进学生分析和解决问题的能力。

棱锥化归为直棱柱的应用

化归1 化归2 化归3 变式1

三棱锥A化归4 变式2

三棱锥中例3

三棱锥A-BCD（图5）中，例4

求棱长为a的AB平面BCD，CD⊥BD，且BD=2AB=2DC＝2，求三棱锥A-BCD外接球的半径。

O正四面体

A—BCD的外接球的半径。

—BCD（图6）中，A—BCDAC=BD=6，其余棱长均为5，求三棱锥A—BCD的外接球的半径。

AC=BD=5，BC＝AD=6，AB=CD=7求三棱锥A—BCD外接球的半径。

图5图6

特点是：棱锥有一条侧棱垂直于底面时，都可以把该棱锥还原到直棱柱中，利用2

特点是：三棱锥的对棱长度是相等。当这三组对棱长度都相特点是：三棱锥的对棱长度是相等。当这三特点是：三棱锥的对棱长度是相等。当这等时，可以放到正方组长度有两组相三组长度都不h2Rr()求得其外接球2体中求解。

等时，可以放在等时，可以放在半径，其中r为底面的外接圆半径，h为该侧棱的长度。

正四棱柱中求解。

长方体中求解。

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师生活动：通过直棱柱外接球方法及公式的总结，引导学生对有一条侧棱垂直于底面的棱锥外接球问题的探索。并引导学生补全锥体，发现这时的锥体与直棱柱有共公的外接球。从而化归为一种题型。同时引导学生对化归方法及思想的应用，对对棱长度都相等的三棱锥有什么方法解决。

【设计意图】：让学生对几类特殊锥体的外接球进行探索与研究，培养学生化归的数学思想，达到“一题多解，多题一解”的目的。

类型三：（利用线线交点确定球心）

确定球心的方法

例5 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一例题个直二面角B-AC-D（如图7），讲解

求四面体ABCD的外接球的半径。

D例6

三棱锥的A-BCD中，三角形ABD与三角形CBD为等边三角形，BD=2，二面角A-BD-C的平面角大小为60o，（如图8）求三棱锥的A-BCD外接球半径.

由球的性质1：过截面圆心且垂直于截面的直线过球心，可知过多面体两个不平行平面外接圆圆心的垂线的交点为球心，即线线交点确定球心。

A图7DOBC

A图7OBC1、例5可以推广为一个重要结论：三棱锥由有公共斜边的直角三角形构成的，这个公共斜边是球的直径。

思辨2、此类模型的特点是：几何体中可求出两个面的二面角大小以及公共棱长度，小结：

两个面的外接圆半径，（线线交点确定球心的方法）

【设计意图】：通过上面方法的学习，引导学生对确定球心的方法再次探索，线与线的交点也能确定球心，并能在几何体中构造“特征三棱锥”，根据特征三棱锥的几何性质求出外接球的半径。

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（四）类型四：（利用高线、方程确定球心）

在正棱锥与旋转体中由球的性质1：过底面圆心S0AB01C图10确定且垂直于截面的直线（高线）过球心及顶点，再构球心的方建直角三角形，利用勾股定理建立方程求解确定球法

心位置。

例题例7

正三棱锥S-ABC的底面边长为6，侧棱长为5，

求该正三棱锥外接球的半径。

讲解

此类模型的特点是：过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线（高线）过正棱锥的顶点与过球心，利用圆心与球心及底面的一个顶点构成一个直角三角形，用思辨勾股定理解出半径。同理，圆台（棱台）的外接球球心的位置在过上下底面外小结：

心的连线（高线）上，再利用球心到上下顶点的距离相等，建立两个方程，用方程的思想求出半径，从而求解

【设计意图】：通过前面代数法，几何法学习，引导学生综合应用代数法，几何法和公式进行研究。

（五）课堂小结与测试

1、数学知识：

1、球的标准方程(xa)2(yb)2(zc)2R2

2、球的性质1：空间球中，过截面圆心，且垂直于截面的“直线”过球心。

3、性质2：空间球中，垂直平分弦的“平面”过球心。

4、勾股定理：球半径R，小圆半径r,球心到小圆圆心的距离为d，得到R=r+d。2、数学方法：

1、标准方程定球心 2、线面交点定球心（化归1、2、3、4）

3、线线交点定球心 4、轴线方程定球心

3、数学思想

1、方程思想 2、数形结合

3、化归数学思想 4、数学直观

222

测试题（用多种方法解决问题）

1、（2017韶关模拟）三棱锥ABCD中，AD平面BCD，

AORDrO1BCAD1，BCD是边长为2的等边三角形,则该几何体外接球的

表面积为（

）

A．17191719

B．

C．

D．

6363第

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2、（2017新课标III）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（

）

A．

B．B

C．C3π

4π

2

D．π

4A

【设计意图】：通过学生小组合作，从知识，方法，数学思想等方面对本节课的内容进行的归纳、梳理与总结，让学生的整体思维更加清晰，对解题中出现的条件更能有针对性的求解。是对自己学习的一个测试，以便自己、教师掌握学生的学习情况，还是教师了解学生的学情，为下一节课的学习做准备。

（六）课后作业及提升练习

CCDC

hArB(r2=r1时)Ahr2r1D(r2=0时)BA图11hrB

hRr2()22(r2=r1时)Rr2(h2r1r2)222h22(r2=0时)h2r2R2h【设计意图】：巩固本节课所学习的内容，培养学生反思的习惯，同时指引学生对三种旋转体外接球计算公式进行自我探索，并引导学生通过极限的数学思想来统一认识三个公式，培养学生独立思考问题，解决问题的能力。

七、板书设计：

空间几何体外接球

一．类比得到1个方程，2个性质及1个公式

二．数学应用（题型的归纳与小结）

三．课堂小结（知识、方法、数学思想）

多媒体展示区域

例题板书区域

例1 例2 例3

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