1.2.1 充分条件与必要条件教学实录及点评

充分条件与必要条件

教学目标：

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

教学重点：

理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：

理解充分条件和必要条件的概念

教学类型：新授课

教学用具：粉笔

黑板

教学过程：

1．复习引入

我们已经学过怎么判断一个命题真假，那我们下面就判断一下下列命题的真假

（板书例子．）

练习：判断下列命题是真命题还是假命题

（1）若a是无理数，则a+3是无理数；

（2）全等三角形的面积相等；

（3）若四边形对角互补，则四边形内接于圆；

（4）若x>2，则x>4；

（5）若x＋y≠－2则x、y不都为－1；

（6）若ac=bc则a=b

; （学生口答，教师板书．）

（1）、（2）、（3）是真命题，（4）、（5）、（6）是假命题．

（置疑）：对于命题“若

，则

”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：（是不是）看

能不能推出

，如果

能推出

，则原命题是真命题，否则就是假命题．

对于命题“若条件

，则结论

”，如果由条件

经过推理能推出结论

，也就是说，如果条件

成立，那么结论

一定成立．换句话说，只要有条件

就能充分地保证结论

的成立，这时我们称条件

是使结论

成立的充分条件，记作

=>

2．讲授新课

下面我们给出充分条件的定义

（板书充分条件的定义．）

一般地有命题p与q，如果已知p

，则能推出q那么我们就说p

是q

成立的充分条件．

提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（2）、（3）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

（1）“a是无理数”是“a+3是无理数

”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

（3）“四边形对角互补”是“四边形内接于圆

”成立的充分条件．

从另一个角度看，如果原命题

成立，那么其逆否命题

也成立，我们就那第一个命题来说即如果“a+3不是无理数

”

，那么“a不是无理数”

，亦即“a+3是无理数

”是“a是无理数”

成立的必须要有的条件，也就是必要条件．记作<= 下面我们给出必要条件的定义

（板书必要条件的定义．）

一般地有命题p与q，如果已知p

，则能推出q那么我们就说q

是p

成立的必要条件．

提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述第（1）（2）（3）个命题．

（学生口答）．

（1）因为“a是无理数”，“a+3是无理数”，所以“a是无理数”是“a+3是无理数”的充分条件，“a+3是无理数”是“a是无理数”的必要条件；

（2）因为“两三角形全等”

“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

（3）因为“四边形对角互补”，“四边形内接于圆”；

，所以“四边形对角互补”

是“四边形内接于圆”

的充分条件；四边形内接于圆是“四边形对角互补”

的必要条件；

总结：如果p

是q

的充分条件，

又p是q

的必要条件，则称p

是q

的充分必要条件，简称充要条件，记作

．pq 下面我们给出充分必要条件的定义

（板书充要条件的定义．）

一般地有命题p、q，如果p推出q且q推出p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。

看一下前三个命题中是否是充要条件

（1）“a是无理数”=>“a+3是无理数”；

“a+3是无理数”=>“a是无理数”即“a是无理数”是“a+3是无理数”的充要条件。

（2）“三角形全等”=>“三角形的面积相等”；

“三角形的面积相等”≠>“三角形全等”即“三角形全等”是“三角形的面积相等”充分不必要条件。

（3）“四边形对角互补”=>“四边形内接于圆”；

“四边形内接于圆”=>“四边形对角互补”即“四边形对角互补”是“四边形内接于圆”

的充要条件。

4．小结回授

今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．

课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第

35页练习l、2；第36页练习l、2．

（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）

5．课外作业：教材第36页 习题1.8 1、2、3．

课堂补充：

正确理解充分必要性

充分必要条件的定义，大家应该比较熟悉，但对好多初学者，有时候不太容易弄明白它的真正含义。

我们说，若由A可以推出B，即 A=>B ，则称A是B的充分条件，B是A的必要条件。若A、B用集合表示，其关系如右图所示，即A包含于B 。 从图中我们可以看到，若A要想实现，则B必须发生，而B不发生，A一定不会实现，即对于A来说，其发生的先决条件是B必须发生，故称B是A的必要条件；同理，对于B来说，A发生了B就发生了，A不发生B也可能发生，但A发生已经能够促使B发生了，即B需要发生，A发生就已经很充分了，故称A是B的充分条件。