习题2.3课堂实录【1】

2.3.1

双曲线及其标准方程

课题

来源学科网课型

新授课

教学

目标

理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．

重点

难点

教学重点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题

教学难点：理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法.

课时

安排

教具

准备

多媒体，三角板

1 教学过程与教学内容

教学过程：

（1）预习与引入过程

预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．

来源:Z&xx&k.Com][来源:学|科|网]教学方法、教学手段与学法、学情

探究，讨论，分析

〖板书〗把平面内与两个定点F（小1，F2的距离的差的绝对值等于常数于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲

线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集PMMF1MF22a．

（ii）双曲线标准方程的推导过程

提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．

无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．

类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程y2x221a0,b0．

2ba（iii）例题讲解、引申与补充

例1 已知双曲线两个焦点分别为F25,0，双曲线上一点15,0，FP到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．

补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：①

与⊙C：x22y22内切，且过点A2,0；②

与⊙C1：x2y11和22222⊙C2：xy14都外切；③

与⊙C1：x3y9外切，且2与⊙C2：x3y1内切．

2解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M的半径为r．

①

∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴MCr2，MAr，因此有MAMC2，∴点M的轨迹是以C、A为焦点的22y双曲线的左支，即M的轨迹方程是2x1x2；

72②

∵⊙M与⊙C1、⊙C2均外切，∴MC1r1，MC2r2，因此有MC2MC11，∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的3；

上支，∴M的轨迹方程是4y24x1y342③

∵M与C1外切，且M与C2内切，∴MC1r3，

MC2r1，因此MC1MC24，∴点M的轨迹是以C1、C2为焦x2y2点的双曲线的右支，∴M的轨迹方程是

1x2．45例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸声的时间差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲[来源:Z#xx#k.Com]线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程． 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340m/s；相关点均在同一平面内）．

解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．

如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则A1020,0，B1020,0，C0,1020．

设Px,y为巨响发生点，∵A、C同时听到巨响，∴OP所在直线为yx……①，又因B点比A点晚4s听到巨响声，∴PBPA43401360m．由双曲线定义知，a680，c1020，∴b3405，∴P点在双曲线方程为x2y21x680……②．联立①、②求出P点坐标为226805340P6805,6805．即巨响在正西北方向68010m处．



探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为4，求点M的轨迹方程，并与§2．1．例93比较，有什么发现？

探究方法：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是之间的关系式，即得到点M的轨迹方程．

4，因此，可以求出x,y9

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