习题3.2优秀教案说课稿

§3.2立体几何中的向量方法

———用向量的方法求二面角大小

授

课

人： 宋

丽

华

授课地点： 芜湖县一中

§3.2立体几何中的向量方法

———用向量的方法求二面角大小

教材分析：

本节是在学生学习了空间向量及其运算，并利用空间向量解决一些简单几何问题的基础上，进一步研究用空间向量解决立体几何中的问题.利用向量解决立体几何问题是本章学习的重点.引入空间向量，为解决立体几何中某些用综合法解决是技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些通法，在教学时，要让学生体会向量的思想方法在解决立体几何问题中的作用，掌握用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”.同时，在教学中，还应鼓励学生灵活选择运用向量方法、综合方法与坐标方法，从不同角度解决立体几何问题.利用向量方法求二面角大小时，应引导学生注意二面角大小的范围以及对该角余弦值正负性的考察.

一、三维目标

1.理解二面角及其平面角的概念，掌握它的取值范围；

2.能用向量的方法（“基底法”与“坐标法”

）解决二面角大小的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用；

3.能利用转化思想将立体几何中的问题转化为向量问题解决. 二、教学重点

用向量的方法（“基底法”与“坐标法”

）解决二面角大小的计算问题. 三、教学难点

理解将立体几何中的问题转化为向量问题解决的思想. 四、教学方法

师生共同讨论为主.多媒体教学. 五、课时安排

1课时. 六、教具准备

三角板. 七、教学过程

（一）回顾旧知

1.如何利用向量的知识求立体几何中的线线所成的角和线面所成的角？

①线线所成的角：如果直线a、b的方向向量分别为a,b，则直线a、b所成角θab满足：cos

ab②线面所成的角：如果直线a的方向向量与平面α的法向量分别为a,b，则直线aba与平面α所成角θ满足sin

ab2.立体几何中的向量方法“三步曲”

①把几何问题转化为向量问题；

2

②进行向量运算；

③由向量运算解释几何问题. (二）新课讲解

问题：如何利用向量方法求二面角的大小？

例1. 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A、B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD的长为a和b,CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.

B β

C

l D

α

A 分析：引导学生探讨：

①所求二面角的平面角是哪一个角？

②类比线线、线面所成角的求法，如何将所求二面角的余弦值转化为向量 中的量？

小结：①立体几何中有关夹角的问题，都可以转化为两个向量的夹角；

ab②向量a,b的夹角θ满足：cos；

ab③利用向量法求二面角大小可以采用基底法，也可以采用坐标法；

例2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，底面ABCD为

DC1 正方形，AB=1,AA1=2,求二面角C- AD1 - A1 的大小. 1 分析：引导学生探讨：

A1 B2 ①

所求二面角的平面角是哪一个角？

②

能否采用基底法求该二面角的大小？

小结：采用坐标法求二面角时应注意：

①

需根据图形建立适当的空间直角坐标系；

②

将二面角的平面角转化为两个面的法向量

D C 的夹角；

③

法向量的夹角与二面角的关系是相等或互补. A B ④

设α、β是二面角α-l-β的两个半平面，

a,b分别是α、β的法向量，如果a,b的起点都在二面角内，方向均指向二面角的内部或均指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是

abα=π-θ=，其中cos；如果α、β的方向一个指向二面角ab的内部，另一个指向二面角的外部，则这个二面角的大小为

abα=θ=，其中cos. ab

3

例3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，

P 侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,求二面角C-PB-D的大小.

分析：利用坐标法求解. D

（三）、练习

A B 1.已知两平面的法向量分别为m0,1,0,n0,1,1，求这两平面所成的二面C 角的大小. 2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各棱长都等于a，并且以A为端点的各棱间的夹角都等于π/3，求二面角A1-AD-B的余弦值. 3.如图，已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，求截面AEFD1D1

C1

与底面ABCD所成的二面角的余弦值. D1

C1

A1

B1

A1

B1

F

D C D C

E B

A A B (第2题） （第3题）

（四）、课堂小结

1.利用向量法求二面角大小可以采用基底法，也可以采用坐标法；

2.法向量的夹角与二面角的关系是相等或互补. 3. 立体几何中的向量方法“三步曲”：

①把几何问题转化为向量问题；②进行向量运算；③由向量运算解释几何问题. （五）、布置作业

： 课本112页：6.

思考题：P是二面角α-AB-β棱上一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN， 如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为﹙

﹚

﹙A﹚60° ﹙B﹚70° ﹙C﹚80° ﹙D﹚90°

板书设计

课题：用向量方法求二面角大小 例1 投影屏幕

1.立体几何中的向量方法“三步曲”；

例2 2.利用向量法求二面角大小：

①基底法； 例3 ②坐标法；

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