1.1.2 简单组合体的结构特征名师教学设计1

号教案

2.2.1

椭圆及其标准方程

2016-04-14 1 66

2.2.1 椭圆及其标准方程

一

教学及培养目标，重点，难点

●教学目标：1理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导

椭圆的标准方程；

2进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用.

●教学重点：椭圆定义的三个特点及标准方程

●教学难点：标准方程的推导及两种形式的区别

教学过程：

二

椭圆定义的引入

握力圈压缩，给我们椭圆的形象，斜着切冬瓜也给我们椭圆的感觉，还有卫星运行的轨道也是椭圆，到底什么是椭圆，它是如何形成的？我们就从研究椭圆定义和它标准方程开始。

取一条定长的绳子，把它的两端固定在图版的两点处，套上粉笔移动粉笔尖形成的轨迹是一个椭圆，把绳子的两端合为一点，移动粉笔尖形成一个圆。我们发现在这个过程中绳子长度不变，于是我们引出椭圆的定义

我们把平面内与两个定点F1F2的距离和等于常数（大于F1F2）的点轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两焦点之间的距离叫椭圆的焦距，用表示。

问题思考：

1不在同一平面会是什么？（椭球）

2两个定点改为一个定点又会是什么？（圆）

3若等于表示什么轨迹？

小于又表示什么轨迹呢？（不存在）。

（线段）。 有诗为证

椭圆定义看三点，两定一动要共面。

距离之和为常数，大于三、五步法推导椭圆标准方程

是关键。

如何用代数方法研究椭圆呢？五步法：建系，设点，列式，化简，证明。

1．建系．取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立坐标系．

2

2.设点．设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是．又设M与3．列式．依据椭圆的定义，有

，．

4．化简．通过移项, 两次平方后得到：

，

，

距离之和等于()．

（）.则两边同除以由椭圆的定义可知，设b2，得

,即，．

=a2-c2，那么可得

．（为什么？）

5 验证

通过上述过程发现椭圆上的任何点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在椭圆上。此即为椭圆的标准方程．它所表示椭圆的焦点在轴上，焦点是中心在坐标原点的椭圆方程．

四 更换焦点位置，探究标准方程：

如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，a，b，c意义同上，椭圆的方程形式又如何？学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成,只，要将方程点在

中的调换，即可得（），它所表示的是焦轴上的椭圆标准方程．

3

我们要注意理解以下几点：

①

在椭圆的两种标准方程中，都有②

在椭圆的两种标准方程中，由于一个坐标轴上；

③

椭圆的三个参数小不确定．

五、紧扣定义

典例透析

例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-4)，F2（0，4），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10，求它的标准方程．

解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为

之间的关系是，其中大的要求；

，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪

．

因为2a=10，2c=8，所以a=5，b=4．

所以，b2=a2－c2=52－42=9． 所以所求椭圆标准方程为．

例2

已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1（－2，0）和F2（2, 0），过点P0（求它的标准方程．

解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为

,），

由椭圆的定义知，

＋

所以，所以，．又，

，

．

4

所以所求标准方程为另法：因为，

．

所以可设所求方程椭圆方程。

六、本节小结

1．根据焦点位置设标准方程

2．抓住定义用待定系数

3．b2．将点P0（,）的坐标代入可求出，从而求出=a2-c2

恒成立要牢记在心。

七、课堂练习，即时反馈

1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程

（1）a=4,b=3,焦点在x轴；

（2）a=5,c=2,焦点在y轴上．

2．椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的周长为 ．

八、布置作业，巩固提高

课本P42．1－3．

5