1.2.1 中心投影与平行投影名师教学设计1

投影与视图

25.1

投影

1. 平行投影与中心投影

素材一

新课导入设计

情景导入

置疑导入

归纳导入

复习导入

类比导入

悬念激趣

情景导入

影子舞通常是由艺术家透过光影，用肢体语言表达情感，使现场效果宛如黑白电影，时尚而又返古的一种适合小型舞台表演的舞蹈(如图25－1－1)．影子舞就是充分利用灯光、物体、屏幕、音乐等巧妙结合的艺术表现形式．这节课我们就来研究灯光与影子的问题．

图25－1－1 问题：影子的形成需要几个要素？影子是怎样形成的？

[说明与建议] 说明：通过用幻灯片展示生活中常见的影子，使学生体会本节课学习的价值，从而自然引出课题及投影的相关概念．符合学生的认知特点，激发学生的学习兴趣．建议：在以上活动的基础上引出投影的相关概念：一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影；影子所在的平面称为投影面．问题由学生口答完成，从而引入新课．

悬念激趣

播放皮影戏表演视频，学生观看，感受民族文化．

导语：影子是我们司空见惯的，在日常生活中，我们可以看到各种各样的影子．比如，太阳照射在窗框、长椅等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子，而皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子(如图25－1－2)．

图25－1－2 问题1：你能举例说出生活中还有哪些与影子有关的现象吗？

问题2：在什么条件下物体可以产生影子？

问题3：常见的光线有什么？

学生观看皮影戏及生活中与影子有关的图片，尝试列举生活中其他有关影子的现象，思考影子是如何形成的，体会影子的形成与光线有关．常见的光线有太阳光和灯光．教师借机指出：一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影；影子所在的平面称为投影面．追问：在这些投影现象中，光线、物体、影子之间有什么关系呢？引入本课：本节课我们就共同来研究光线、物体、影子之间的关系．

[说明与建议] 说明：用多媒体展示人影、皮影、手影的精彩图片及视频，给学生以视觉冲击，

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产生了视觉和心理的震撼，这样在课堂“第一时间”抓住了学生的注意力，极大地激发了学生的学习热情，有利于后面教学活动的开展，提高课堂教学效果．建议：通过对问题的思考，使学生明晰投影的本质，培养学生从大量信息中辨析本质的能力．

素材二

教材母题挖掘

教材母题——第75页练习第3题

如图25－1－3，树A，B与一盏路灯位于同一条直线上，并分别在该路灯两旁．图中只画出了树A，B在路灯照射下的影子，但没有画出路灯．

图25－1－3 (1)你能画出路灯吗？

(2)两棵树分别与各自影子构成的两个直角三角形相似吗？

【模型建立】

中心投影光源的确定：分别过两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置．

【变式变形】

1．确定图25－1－4中路灯灯泡的位置，并画出此时丙在路灯下的影子(用线段表示)．[答案：略]

图25－1－4

图25－1－5 2.如图25－1－5所示，物体在灯光下都有它的影子，完成下列问题：

(1)在图①②中，光线AE，CF平行吗？

(2)在图①中，△AEB与△CFD有可能相似吗？为什么？

(3)在图②中，△AEB与△CFD有可能相似吗？为什么？

[答案：(1)不平行

(2)有可能，理由略

(3)有可能，理由略] 3．现有直径为1米的圆桌面，桌脚高1.2米(不计桌面厚度)．如图25－1－6所示，在桌面正上方2.5米处有一盏灯，你能否测算出晚上开灯后圆桌面在地面上的影子的面积？面积是多少？(π取3.14，结果精确到0.1米)

图25－1－6 [答案：能，面积约是1.7平方米] 素材三

考情考向分析

[命题角度1] 利用太阳光下的影子求物体的高度

由于太阳光是平行光，所以在同一时刻，相距不远的两个物体的高度和影长成正比，用此方法可以测量物高．

例

如图25－1－7，小东用长为2.4 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，

2

使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m，与旗杆相距22 m，则旗杆的高为(B)

图25－1－7 A．10 m

B．9 m

C．8 m

D．7 m [命题角度2] 确定中心投影中的光源位置

在确定中心投影的光源位置时，只需要分别过两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置．

例

[淄博模拟] 小王在同一路灯下A，C两点处的影长如图25－1－8所示．

图25－1－8 (1)试确定路灯灯泡所在的位置；

(2)试判断小王在灯光下走动时影子的长度有什么变化．

[答案：(1)如图，点O即为路灯灯泡所在的位置

(2)离灯泡越近，影子越短；离灯泡越远，影子越长] [命题角度3] 中心投影的应用

灯光光线的特征是相交于一点．生活中的灯光与影子有着广泛的应用，如皮影戏表演、灯光下做不同手势的表演等．由于灯光的光线可以看成是从一点发出的，因此，在同一灯光下物体的影子与物体上对应点的连线肯定经过灯泡所在的位置，利用这个原理可以确定光源的位置．

例 [陕西中考] 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图25－1－9，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m)[答案：6.1 m]

图25－1－9

素材四

数学素养提升

《皮影戏与投影》

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“银灯映照千员将，一箱容下百万兵”，这优美的诗句描述的是我国独特的民间艺术――皮影。

据传，两千多年前，汉武帝爱妃李夫人染疾故去，武帝思念心切神情恍惚，终日不理朝政。大臣李少翁一日出门，路遇孩童手拿布娃娃玩耍，影子倒映于地栩栩如生。李少翁心中一动，用棉帛裁成李夫人影像，涂上色彩，并在手脚处装上木杆。入夜围方帷，张灯烛，恭请皇帝端坐帐中观看。

武帝看罢龙颜大悦，就此爱不释手。

这个载入《汉书》的故事，被认为是皮影戏最早的渊源。

皮影后来逐步发展成为彩绘，镂雕，又改纸制为皮制，再配上音乐，唱腔，慢慢地成了后来的皮影戏。宋代已经成熟和盛行，东京汴梁瓦舍中的影戏艺人已有董十五、赵七、曹保义等9人。山西繁峙岩山寺文殊殿金代壁画中有一幅《影戏图》，生动形象地表现了当时山西皮影演出的实况。经过宋、金、元、明四个历史时期的发展，流行全国各地的皮影戏在清代呈现出繁荣局面。

三、四十年代中，古”丝绸之路"上进入河西走廊的重镇--张掖，皮影戏有七十多个正本戏，一百多个折子戏，不少是个人创作独家所有，内容上也逐步有所改进。张掖的上寨小满一带制作的皮影刻成各种生动传神戏剧人物，具有造型简洁、纹样夸张的特点。各地皮影，风格不同。皮影除作戏剧表演外，还是一种有趣味的装饰品和艺术欣赏品。逢年过节，

喜庆日子，都要请皮影戏班子唱戏。

道具主要为影窗，俗称“亮子”，一般高3尺，宽5尺，最高不过4尺，宽不过6尺，以白纸作幕，以便单人操作。其次为油灯一盏，用以映射影人和表演动作。一个皮影，要用五根竹棍操纵，艺人手指灵活，常常玩得观众眼花缭乱。不仅手上功夫绝妙高超，嘴上还要说、念、打、唱，脚下还要制动锣鼓。演皮影的屏幕，是用一块1米大小的白纱布做成的。白纱布经过鱼油打磨后，变得挺括透亮。演出时，皮影紧贴屏幕活动，镂空的人影和五彩缤纷的颜色真切动人。

皮影是采用皮革为材料制成的，出于坚固性和透明性的考虑，又以牛皮和驴皮为佳。上色时主要使用红、黄、青、绿、黑等五种纯色的透明颜料。正是由于这些特殊的材质，使得皮影人物及道具在后背光照耀下投影到布幕上的影子显得瑰丽而晶莹剔透，具有独特的美感。由于受材质限制，保存甚难，所以传至今世的古影不多。

最后告诉大家一个重要数学秘密，皮影的投影属中心投影，这是因为皮影的光源通常是一盏煤油灯，是点光源。皮影表演时，由于紧贴屏幕，所以产生的效果逼真。又因为是加工成半透明状的皮革刻制上彩而成，它是能透过与本身色彩相同的光线，映照在白色幕布上，因而皮影戏是彩色的。

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