小结教学设计(第一课时)

三十八讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

重庆市黔江中学校

谭洪波

教学目标：

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.

3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

教学内容：

一、真题引入

1.[2017·全国卷Ⅱ]

如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为

(

) A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

2.[2017·全国卷Ⅲ]

已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为

(

) A.π

B.

C.

D.

3.[2016·全国卷Ⅱ]

体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

) A.12π

B.π C.8π

D.4π

二、知识复习

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

侧棱

互相

且

多边形

相交于

但不一定相等

互相

延长线交于

侧面

形状

(2)旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

平行、相等且

于底面

全等的

相交于

延长线交于

全等的

母线

轴截面

侧面展

开图

全等的

2.三视图

(1)几何体的三视图包括

视图、

视图、

视图.

(2)三视图的画法

①基本要求:

,

,

.

②画法规则:

一样高,

一样长,

一样宽,看不到的线画成虚线.

3.直观图

(1)画法:常用

.

(2)规则: ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴和y'轴所在的平面

.

②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍

.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度

, 平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的

.

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面

展开图

侧面

积公式

S圆柱侧=

S圆锥侧=

S圆台侧=

5.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

柱体

(棱柱和圆柱) 锥体

(棱锥和圆锥) 表面积

S表面积=S侧+2S底

S表面积=S侧+S底

体积

V=

V=

V=(S上+S下+

台体

(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下

)h

球

S=

V=

常用结论

1.

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系如下: S直观图=S原图形,S原图形=22.

多面体的内切球与外接球常用的结论

(1)设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=,外接球半径R=a; S直观图.

(2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=; (3)设正四面体的棱长为a,则它的高为a,内切球半径r=a,外接球半径R=a.

3.

正方体的截面情况: 三角形、四边形(有菱形、矩形、梯形等)、五边形、六边形.

三、强化提升

探究点一

空间几何体的三视图和直观图

1 (1)[2017·长沙模拟]

如图7-38-6是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图) (

)

图7-38-6

A

B

C

D

图7-38-7 (2)[2017·洛阳统考]

某几何体的三视图如图7-38-8所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为(

)

图7-38-8 A. 1 B.

C.

D.

[总结反思] (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意能看到的线用实线表示,被遮挡住不能看到的线用虚线表示.

(2)由实物图画三视图或判断选择三视图,需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.由三视图还原实物图,要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.

(3)由几何体的三视图还原几何体的直观图.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为直观图.

式题

(1)[2017·大连双基测试]

如图7-38-9所示,在空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(1,0,2),(1,2,0),(1,2,1),(0,2,2),若正视图以yOz平面为投射面,则该四面体侧视图的面积为

(

) A.

B. 1 C. 2 D. 4

(2)一个空间几何体的三视图如图7-38-10所示,则该几何体所有棱长的取值集合为

.

图7-38-9

图

7

-38

-

10

探究点二

空间几何体的表面积与体积

2 (1)某几何体的三视图如图7-38-11所示,则该几何体的体积为(

) A. 64 B. 64-4π

C. 64-8π

D. 64-

图7-38-11

图7-38-12 (2)[2017·太原模拟]

某几何体的三视图如图7-38-12所示,则该几何体的表面积为

A.

B. 8+

C. (4+)π

D. (5+)π

(

)

[总结反思] (1)根据三视图求几何体的表面积、体积时,解题的关键是对所给三视图进行分析,得到几何体的直观图.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,求组合体的表面积时要注意重合部分的面积,不要漏算或多算,求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用.

(3)求规则几何体的体积,只需确定底面积与相应的高,而对于一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形法,转化求解.

式题

(1)如图7-38-13是某个几何体的三视图,则这个几何体体积是

(

) A. 2+

B. 2+

C. 4+

D. 4+

图7-38-13

图7-38-14 (2)[2017·长沙一中模拟]

如图7-38-14所示,某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线,则它的表面积为(

) A. 2

B. 2

C. 3 D. 4 探究点三

空间几何体与球的切、接问题

考向1

几何体的外接球

3 (1)[2017·深圳二调]

在三棱锥S-ABC中,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则该三棱锥的外接球的表面积为

(

) A. 64π

B. 68π

C. 72π

D. 100π

(2)[2017·全国卷Ⅰ]

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为

.

[总结反思] 一个多面体的几个顶点在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

考向2

几何体的内切球

4 (1)一块石材表示的几何体的三视图如图7-38-15所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于

(

) A. 1 B. 2

C. 3 D. 4 (2)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则=

.

[总结反思] 球的内切问题主要是指球内切多面体,解答时一般要找准切点,通过作截面来解决. 四、小结

1、空间几何体的三视图和直观图

2、空间几何体的表面积与体积

3、空间几何体与球的切、接问题

五、作业布置

课时三十八